Multiplikation med komplexa tal.

På wikipedia sägs det att:


Jag förstår inte det riktigt. Vad händer om vi multiplicerar med pi eller något annat tal?

Multiplikation med vanliga reella tal förstorar eller förkrymper talen du multiplicerat med, men inte riktningen (dvs vinkeln oförändrad).

Om du tänker på det komplexa talplanet och har ett tal som enbart har en realdel och multiplicerar det med i. Då kommer du få ett tal som enbart har en imaginär del. Så istället för att talet ligger längs x-axeln så ligger talet nu längs y-axeln. Alltså en rotation med 90 grader motsols. Om du istället hade dividerat dit tal z=a=-i^2a med i så hade du fått z=-ai. Alltså en rotation medsols med 90 grader. På liknande sett är det lätt att se om du hade haft ett tal som enbart var imaginärt. Om du istället har z=a+bi och multiplicerar med i så får du z=ai-b. Om du ritar upp dessa så ser du att de är vinkelräta, en rotation med 90 grader. Om du skulle ha dividerat med t ex ci så skulle inte konstanten ändra riktningen på ditt svar, du kan alltid dela upp divisionen och se det som att du först delar med i (rotation med 90 grader medsols) och sen dividerar med c (påverkar ej riktning enbart "storleken" på talet).

I boken har jag en uppgift som lyder:

Vektorerna i det komplexa talplanet vrids 5*pi/6 i positiv led, varefter de förstoras i skaln 3. I vilket tal övergår

a) 1
b) -1 + i

Hur skall jag kunna multiplicera här så att jag får det nya talet? Antar att absolutbelopp multipliceras med 3 sedan också.

skriv -1 + i i polär form om du nu lärt dig det. men det är rätt enkelt så jag förklarar kortfattat:

talet z = a + bi kan skrivas som z = r(cos(x) + isin(x)) = re^(ix)

där r = |z| och x är positiva vinkeln från reella axeln


så hur skriver du -1 + i på polär form?

koordinaterna för talet i komplexa planet är ju (-1, 1)

för att konvertera till polära koordinater kollar du vilken kvadrant punkten ligger och använder att

tan x = y/x ⇒ x = arctan (y/x)

efter som (-1, 1) ligger i andra kvadranten får vi att -1 + 1 = √2e^i(3pi/4)


att talet vrids vinkeln 5pi/6 positiv led är det samma som att multiplicera med talet e^i(5pi/6) = cos(5pi/6) + isin(5pi/6) = -√3/2 + i/2

och att förstora faktorn 3 är samma sak som att multiplicera med reella talet 3