Komplexa tal.

Är riktigt konfunderad över dessa två uppgifter:

Bestäm alla komplexa tal för vilka |z - 1| = 2|z + 1|

Bestäm alla komplexa tal för vilka |(1/z) - (1/4)| = 1/4


Till att börja med förstår jag inte ens vad det är dom frågar efter?

Hjälp på vägen:

1. z=x+iy
2. |z| = sqrt(x^2 + y^2)

Jag löste uppgiften genom att helt enkelt ta bort absolutbeloppet och lösa ut z. Fick Z=2

Men man får ju inte bara ta bort ett absolutbelopp hur som helst?

Precis, då du inte vet om z i |z| är positivt eller negativt, du får alltså två fall, det ena där z>0 och det andra där z<0

Eftersom z är ett komplext tal så kan den vara varken positiv eller negativ, så det där funkar inte.

Wuut, hade jag faktiskt aldrig tänkt på, man lär sig alltid något nytt.

Så hur ser det ut om man löser uppgiften?

|z - 1| = |x + iy - 1| = |(x-1) + iy| = √[(x-1)² + y²]
På samma sätt är 2|z + 1| = 2√[(x+1)² + y²].
Sätt uttrycken lika med varandra och lös ekvationen. Tänk på att du med största sannolikhet kommer att få många lösningar, som i sig kommer att uttryckas med en ekvation.

absolutbeloppet | z - a | kan ses som avståndet mellan talen z och a i det komplexa talplanet
då ser du lätt att du skall hitta de tal vars avstånd till talet 1 är dubbelt så stort som avståndet till talet -1. Svaret blir en ellips i det komplexa talplanet vars huvudaxlar är den reella axeln mellan -1/3 och -3, och axeln Re(z) = -11/6.

För en ellips gäller att summan av avstånden till två fixa punkter är konstant, t.ex:

|z-1| + |z+1| = 3.

Här bör det väl bli en cirkel: |z + 5/3| = 4/3

- specialfall av ellips visserligen.

ja, så är det ju

Cirkeldefinition enligt Apollonius av Perga:
http://en.wikipedia.org/wiki/Circles_of_Apollonius
http://www.jimloy.com/cindy/apoll.htm