Volym av kropp i R³

Hejsan

ska beräkna volymen av den kropp i R³ som begränsas av planen
x+y-z=0 , y-z=0, y+z=0 och x+y+z=2

Jag gör ett variabelbyte
u = x+y-z
v = y-z
w = y+z

Funktionaldeterminanten är 1/2, och jag får ett nytt område som begränsas av planen
u=0, v=0, w=0 och u-v+w=2

Sedan kör jag fast. Ledning säger att det nya området är en tetraeder. Hur vet jag det, och hur hittar jag hörnen på denna? Och tillsist lyckas räkna ut volymen?..

Hmm, jag ger ett bra försök!

Om ena hörnet av tetraedern ligger i origo (vilket det gör) eftersom det är skärningspunkten för u,v och w i likhet med noll. Ja då är tetraederns volym lika med skalärtrippelprodukten dividerat med 6 av vektorerna som spänner upp tetraedern. Dvs att den delar tre konvergerande sidor med den tänkta parellellipipeden. Volymen av en parallellipiped är ju skalärtrippelprodukten av vektorerna som spänner upp den, tetraedern är en sjättedel av denna volymen.

Planet u = 0 innebär att det är hela wv-planet. Samma som att planet z = 0 innebär hela xy-planet. Eftersom z är noll i hela xy-planet. På samma sätt är då x och y noll i hela z-axeln.

Vi får då att:

u-v+w=2
u+0+0 = 2

Alltså måste tetraedern skära u-axeln där u = 2 och där v = -2, och där w = 2. Men av symmetriskäl får vi samma volym om v = 2 som om den är -2. Om du är duktig på att rita vuw-rymden så gör gärna det, då blir det rätt uppenbart hur det skall se ut och man ser att det är en tetraeder.

Att räkna skalärtrippelprodukten är som att räkna determinanten av ordning 3 med kolonnvektorerna som spänner upp parellellipipeden. Dock så skall vi också dela med 6, eftersom det är en tetraeder. Annars kan vi också bara använda formeln för volymen av en tetraeder och få samma sak.

I vilket fall blir det 8/6, sedan hade vi funktionaldeterminanten också. Nu är jag lite osäker på avbildningar emellan rum, men det borde då bli 4/6, eftersom funktionaldeterminanten var 1/2.

Hoppas jag tänkt rätt.

Mvh