Mekanikfråga

Pelle och Lisa ska segla under en bro och funderar över hur hög deras mast är. För att få klarhet i detta hissar de upp en tunn lina i masttoppen och fäster en vikt längst ner i linan, som nu hänger precis ovanför däcket. De sätter pendeln i svängning och mäter hur lång tid 10 pendlingar fram och tillbaka tar. Denna tid benämner vi T. Visa hur Pelle och Lisa med hjälp av denna mätning kan bestämma masttoppens höjd över däcket. Sambandet sin(θ) = θ för små vinklar bör användas.

Min lösning (Försöker utan bild):

θ är vinkeln som pendeln bildar till masten.
Använder cylinderkoordinater och ställer upp kraftekvationen i e_θ:

m(r * d²θ/dt²) = -mgsin(θ)
r * d²θ/dt² ≈ -gθ
d²θ/dt² + (g/r)θ = 0

Där ω_n = √(g/r)
Perioden ges av:
τ = 2π/ω_n = 2π√(r/g)
r = gτ²/(4π²) = höjden på masten
Eftersom de vet om hur lång tid 10 svängningar tar:
r = gT²/(10² * 4π²)
r = gT²/(400π²)

Hoppas det går att första utan bild. Har jag tänkt rätt?

Bumpar med en ny som jag kanske kan få hjälp med:

En asteroid (massa m) rör sig rakt mot jorden och befinner sig i ett givet ögonblick på avståndet L från jordens (massa M) centrum med hastigheten v_1. Bestäm hur stor hastighet v_2, vinkelrät mot sin rörelseriktning, asteroiden minst måste ges i detta ögonblick för att inte krocka med jorden som har radien R.

Jag tänkte såhär:

Vi inför ett xy-plan med origo i jordens centrum och där V1 är parallell med x-axeln. Detta ger oss i e_x:

m(d²x/dt²) = (GMm)/x²
Multiplicerar med dx:
(dv/dt)dx = (GM/x²)dx
(dx/dt)dv = (GM/x²)dx
∫vdv = GM∫(1/x²)dx
∫{v_1,v_3}vdv = GM∫{L,R}(1/x²)dx
(1/2)(v_3² - v_1²) = GM(1/L - 1/R)
v_3² - v_1² = 2GM(1/L - 1/R)
v_3 = √(2GM(1/L - 1/R) + v_1²)

v_3 är alltså hastigheten i x-led vid jordytan.

Vi har också:
dx/dt = ((GM)/x²)t + v_1
Sätter in v_3 vid x = R:
√(2GM(1/L - 1/R) + v_1²) = ((GM)/R²)t + v_1
t = R²(√(2GM(1/L - 1/R) + v_1²) - v_1)/GM

I e_y-led:
dy/dt = v_2
y = v_2t

Vi vill att sträckan ska vara R vid tiden t:
R = v_2t
v_2 = R/t
v_2 = R/(R²(√(2GM(1/L - 1/R) + v_1²) - v_1)/GM)
v_2 = GM/(R(√(2GM(1/L - 1/R) + v_1²) - v_1)

Facit säger:
v_2 = √((2GM(1/L - 1/R) - v_1) * R²/(R² - L²))

Var har jag tänkt fel? Kan tilläggas att jag inte använder samma metod som de gör i lösningsförslagen.

Ja, under förutsättning att asteroiden rör sig rätlinjigt (gäller kanske approximativt då x=L)

[ ... ]


Nej, accelerationen är ej konst här!

Mekanikkurs? Ingår centralrörelse (med rörelseekvationer i planpolära koordiater)?

Varför går inte det? Vi har ju att x = R och detta ger väl en speciell acceleration vid det speciella tillfället? Hur skulle jag göra annars? På mitt sätt då. I lösningen har han använt att rörelsemängsmomentet är konstant i centralrörelse och energiekvationen.

Om du menar cylinderkoordinater så ja.

Jovisst, men du kan inte koppla hastighet och acc vid x=R med hastigheten v_1 vid x=L.
Om astroiden har hastigheten u då x=R får vi enl energikvationen:

½mu² - GmM/R = ½mv² - GmM/L, där v² = v_1²+ v_2²;

vilket ger: u² = v_1²+ v_2² + 2GM (1/R - 1/L).


Det blir knepigt om man blandar in tiden t vid Keplerrörelse:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler's_Equation


Ja, det är ju så man brukar göra.