BengtZzs frågetråd om flervariabelanalys

Nu var det ett år sedan och jag är väldigt trött (du får alltså skrivamed svaret så man slipper göra bort sig ), men är det inte bättre att först integrera z med gränserna x^2+y^2 till 2-(x^2+y^2), och sedan göra om till polära koordinater? Då får jag 2pi/3 iaf...

Jag får 2pi/3 när jag gör det med dubbelintegraler också, fan facit har säkert fel, igen, jävla skitfacit. Men jag vill ju lära mig idén med trippelintegraler bättre.

Uppgift 8.9
Beräkna volymen av den begränsade kropp som innesluts av cylindrarna:

x²+y² = 1 och x²+z² = 1

Har ingen aning om hur jag skall göra här faktiskt.

Uppgift 8.9
Beräkna volymen av den begränsade kropp som innesluts av cylindrarna:

x²+y² = 1 och x²+z² = 1

Har ingen aning om hur jag skall göra här faktiskt.

Uppgift 8.3
Beräkna volymen av den kropp som begränsas av paraboloiderna:

z = x²+y²
z = 2-(x²+y²)

Min idé var att göra en trippelintegral med integranden 1. När gränserna är rätt så får vi volymen av området.

Cylindriska koordinater:

{x = rcos(v)
{y = rsin(v)
{z = z

Funktionaldeterminanten är r.

Områdena:
z skall gå från noll till 2, eftersom den ena paraboloiden är som störst 2 och den andra som minst 0.
v skall gå ett helt varv, alltså 2π.
r beror bara av x och y, så jag måste kolla var r är som störst i xy-planet [här är jag osäker].

Var paraboloiderna skär varann får jag reda på genom att sätta de lika med varann.

x²+y² = 2-(x²+y²)
2(x²+y²) = 2
x²+y² = 1

Alltså kan både x och y vara som störst 1, eller så ser vi redan här att r = 1. Kan jag då låta r vara mellan 0 och 1? Det känns inte riktigt okey. Jag kanske skall dela in området i två, där z är mellan 0 och 1, sedan mellan 1 och 2? Och låta r vara begränsad av paraboloiden?

Tack

Uppgift 8.3
Beräkna volymen av den kropp som begränsas av paraboloiderna:

z = x²+y²
z = 2-(x²+y²)

Min idé var att göra en trippelintegral med integranden 1. När gränserna är rätt så får vi volymen av området.

Cylindriska koordinater:

{x = rcos(v)
{y = rsin(v)
{z = z

Funktionaldeterminanten är r.

Områdena:
z skall gå från noll till 2, eftersom den ena paraboloiden är som störst 2 och den andra som minst 0.
v skall gå ett helt varv, alltså 2π.
r beror bara av x och y, så jag måste kolla var r är som störst i xy-planet [här är jag osäker].

Var paraboloiderna skär varann får jag reda på genom att sätta de lika med varann.

x²+y² = 2-(x²+y²)
2(x²+y²) = 2
x²+y² = 1

Alltså kan både x och y vara som störst 1, eller så ser vi redan här att r = 1. Kan jag då låta r vara mellan 0 och 1? Det känns inte riktigt okey. Jag kanske skall dela in området i två, där z är mellan 0 och 1, sedan mellan 1 och 2? Och låta r vara begränsad av paraboloiden?

Tack

z begränsas neråt av z = x² + y² och övre gränsen är z = 2 - (x² + y²). Inte mellan två plan.
Alltså blir gränserna:
r² ≤ z ≤ 2 - r²
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ v ≤ 2π

Jag gör så (jag tänkte dubbelintegral och övre funktion minus undre, precis som i envariabelfallet
, vilket iofs är samma som trippelintegralen "kom på det senare") Hur som helst: Men får fel enligt facit. Tror facit har fel.

∫{0,2π}dv∫{0,1}rdr∫{r²,2 - r²}dz
2π∫{0,1}(r((2 - r²) - r²)dr
2π∫{0,1}(r(2 - r² - r²))dr
2π∫{0,1}(2r - 2r³)dr
2π[r² - r^4/2]{0,1}
2π(1 - 1/2)
π

Vad får du för svar?

Kurvintegraler. Uppgift 9.9
Beräkna:

∫(x³-x²y)dx+(xy²)dy

över kurvan γ.
γ: x²+y² = 4, den genomlöper ett enda varv i positiv riktning.