Akut behov av hjälp (Matte c)

Hej!

Har några matte-c uppgifter inom tillämpningar på polynomfunktioner som det vore underbart om någon snäll själ kunde hjälpa mig med. (Ja, som ni kommer förstå är jag inget mattegeni.)

Uppgift 1. Per har studerat hur Sveriges folkmängd kommer att utvecklas under första hälften av 2000-talet. Han anser att följande andragradsfunktion kan användas för att beskriva hur folkmängden förändras: y=-0,000338x^2 + 0.00232x + 8,89 där y är folkmängden i miljoner x år efter 2000.
Beräkna och tolka: a) y'(20) b) y'(40)


Uppgift 2. Bestäm ekvationen för den tangent till kurvan y= x^2 + 6x som är parallell med linjen y= 2x+10.


Uppgift 3. Mia tränar simhopp från 10-meterstornet. Vid ett hopp kan hennes höjd över vattenytan, y meter, beräknas med formeln: y=10 + 4t -5t^2, där t är tiden i sekunder.
a) Bestäm hennes hastighet då t= 0,8.
b) När vänder hon och hur högt är hon då?
c) Ange hennes hastighet då hon slår i vattnet.


Skulle vara evigt tacksam om någon kunde visa hur man räknar ut dessa uppgifter!

MVH

y=-0,000338x^2 + 0.00232x + 8,89 där y är folkmängden i miljoner x år efter 2000.
Beräkna och tolka: a) y'(20) b) y'(40)

på a) och b)
sätt in y'(20) eller y'(40) i funktionen, dvs istället för x.

y=-0,000338x^2 + 0.00232x + 8,89 -->
y=-0,000338*20^2 + 0.00232*20 + 8,89

och sen räknar du ut det. det är lätt.

Kan ju vara bra att derivera först

Haha helt fel jontä! Så räknar man inte ut det

justeja derivera innan du sätter in prim i funktionen

y1=x^2+6x, en tangent till den ska vara parallell med y2=2x+10. det betyder att de ska ha samma lutning (derivata). I vilken punkt sker det?
y1'=2x+6
y2'=2
2x+6=2 =>x=-2
Vilken lutning har y1 för x=-2?
y1'(-2)=2*(-2)+6=2
Tangent ska ha lutning 2 alltså.
Vilken värde har y1 för x=-2?
y1(-2)=(-2)^2+6*(-2)=-8
Tangenten ska alltså ha lutning 2 och gå genom punkten (-2,-8).
y=kx+m
-8=2*(-2)+m =>m=-4
Tangenten har ekvationen y=2x-4

y = 0.000338x^2 + 0.00232x + 8.89
y' = 2*0.000338x + 0.00232
y'(20) = 2*0.003338*20+0.00232 = 0.13584

Sättet att tolka är att efter 20 år efter 2000, ändras jordens folkmängd med 0.13584 miljoner personer per år.

Likadant för 40, fast andra värden.

y = kx+m
Den ska vara parallell med linjen y=2x+10, vilket betyder samma k-värde.
y = 2x+m

y'=2x+6
2 = 2x+6
x = -2

När x = -2, är lutningen av tangenten 2. Fint, då stoppar vi in -2 i original ekvationen för att få reda på y.
y = 2*(-2)+m
y = x^2 + 6x
y(-2) = (-2)^2 + 6*(-2) = -8

-8 = 2*(-2)+m
m = -4

y = 2x-4


a) y = 10 + 4t -5t^2
y' = 4 - 10t
y'(0.8) = 4 - 0.8*10 = -4 m/s (hon har vänt om, och är påväg nedåt, därav negativ hastighet.)

b) y' = 4-10t
0 = 4-10t
t = 4/10
y = 10 + 4t - 5t^2
y(4/10) = 10 + 4(4/10) - 5(4/10)^2 = 10.8

10.8 meter ovanför vattenytan.

c) Ta reda på vad tiden är när höjden är noll.

0 = 10+4t -5t^2
t_1 = 1/5 (2-3 sqrt(6))
t_2 = 1/5 (2+3 sqrt(6))

Enbart t_2 är av intresse dock, för den är positiv. Efter 1/5 (2+3 sqrt(6)) sekunder slår hon i ytan.

y' = 4 - 10t
y'(t_2) = 4 - 10*(1/5 (2+3 sqrt(6))) = -14.67 m/s