Variabelbyte i dubbelintegral

Hej, hade föreläsning på detta idag så är inte så varm i skorna än. Jag ska beräkna

I = ∫∫ ((x - y + 1) / (x + y)) dxdy

över området D som definieras av olikheterna

1 ≤ x + y ≤ 2x - 4y ≤ 3

Hur bör jag göra mitt linjära byte? Försöker rita upp området men får inte riktigt ut något.

Pröva med u = x + y och v = x - y.

Okej. Hur kommer du fram till det då? Genom att rita upp området? Hur i så fall?

Dels blir integranden bra och gränserna kan du skriva ganska lätt också. Sådant man ser efter lite övning.

Okej... men hur gör jag med gränserna då?

Personligen skulle jag föredra variabelbytet:

{ u = x + y
{ v = 2x - 4y

Eftersom jag gillar att gränserna är så enkla som möjligt. Invertera variabelbytet så att du kan sätta in din nya variabel i funktionen. För att använda det andra variabelbytet som nämndes i tråden får du fram det nya området genom att även där sätta in de nya variablerna, så invertera även där.

Ok, det bytet känns mer naturligt för mig så jag kör på det. Då får jag istället den nya olikheten

1 ≤ u ≤ v ≤ 3

och då har jag tre bud på hur de nya mängderna blir (osäker när det är en så "stor" olikhet). Är det

{1 ≤ u ≤ v
{1 ≤ v ≤ 3

eller är det

{1 ≤ u ≤ 3
{u ≤ v ≤ 3

eller är det

{1 ≤ u ≤ 3
{1 ≤ v ≤ 3

?

Om du ska ställa upp en integral delas mängden upp i gränserna:

1 ≤ u ≤ v samt 1 ≤ v ≤ 3 eller u ≤ v ≤ 3 och 1 ≤ u ≤ 3.

Aha så när man har en trippelolikhet kan man välja mellan dessa alltså. Tack.

Ja, det står dig helt fritt att välja vilken variabel du börjar att integrera med avseende på! Samma princip om du har flera variabler med liknande olikhet.