Hjälp med numerisk kvantifikation

Tja, jag ska härleda en sats där jag säger i premisserna att alla kuber är medelstora och att i domänen finns det minst två kuber med slutsatsen att det finns minst en medelstor(x).

Jag vet att man formulerar sig såhär för att påstå minst en Cube(a)∧Small(a)∧Cube(b) eller ∃x∃y[Cube(x)∧Small(x)∧Cube(y)]

Men om jag bara vill säga det finns minst en sak medelstor så vet jag inte hur jag ska skriva det i förhållande till detta då det känns överflödigt att behöva blanda in att det är en kub i slutsatsen.

P1: ∀x(Cube(x) → (Medium(x))
P2∃y∃z(Cube(y)∧Cube(z)∧y är inte lika med z) (Man kan inte skriva överkryssade likhetstecken)

Tänkte slutsatsen som något i stil med
∃x(Medium(x))

Men jag har problem med att härleda den.

Säg att du skulle förklara på svenska varför satsen ifråga är sann för en väldigt korkad person. Vad skulle du säga?

Alla apelsiner är frukter
Det finns minst två apelsiner

Det finns minst en frukt

Okej, och antag nu att jag är jättekorkad, och inte förstår varför tredje raden följer från den andra. (Om du hade haft

alla apelsiner är frukter
det finns minst en apelsin

det finns minst en frukt

så hade jag förstått.) Hur gör du då?

∀x(Apelsin(x) → (Frukt(x))
∃y∃z(Apelsin(y)∧Frukt(y)∧Apelsin(z))
???

Detta är en blind överföring av "Det finns minst en kub" till apelsiner. Och att säga så innebär en motsägelse eftersom den andra premissen säger att apelsin(y) är en frukt men inget om att apelsin(z) är en frukt vilket den borde göra ifall den ska kunna falla i ledet med premiss ett.

http://img15.imageshack.us/img15/2152/apelsiner.jpg

Enligt denna skiss har jag förstått att det måste följa.

Vänta, nu är jag förvirrad. Vad är premisser och vad är slutsats?

Som jag ser det är

Premiss 1: Alla apelsiner är frukter. (Alla hus är medelstora.)
Premiss 2: Det finns minst två apelsiner. (Det finns minst två hus.)

och slutsatsen

Slutsats: Det finns minst en frukt. (Det finns minst något som är medelstort.)

Vad har då utsagan ∃y∃z(Apelsin(y)∧Frukt(y)∧Apelsin(z)) med saken att göra?

Slutsatsen skrev jag inte ut nu..

Den satsen är det som enligt mina böcker innebär att påstå enligt predikatslogiken att "det finns minst en"

Fast

∃y∃z(Apelsin(y)∧Frukt(y)∧Apelsin(z)

påstår ju att det finns en apelsin som också är en frukt, och att det finns en apelsin. I brist på specificering att de två apelsinerna ska vara olika så är ju detta helt ekvivalent med att bara säga att det finns en apelsin som också är en frukt, det vill säga

∃y(Apelsin(y)∧Frukt(y)).

Men slutsatsen till satsen du ska bevisa är väl, om jag förstått saken rätt, att det finns nånting som är medelstort, eller med apelsiner och frukter istället, att det finns en frukt. Alltså

∃y(Frukt(y)).

Så (om jag har förstått det rätt) ska du bevisa att

∀x(Apelsin(x) → Frukt(x))
∃y∃z(Apelsin(y)∧Apelsin(z)∧(y≠z))

tillsammans implicerar

∃y(Frukt(y)).

Men missförstår jag fortfarande?

Jag antar att du har förstått helt rätt för det är exakt så jag har formaliserat det till från början, men har problem med att härleda det. För mitt härledningsprogram klagar när jag ska göra en konjunktionselimination för premiss två. Jag har i ett subbevis lyckats härleda ∀x(Apelsin(x) → Frukt(x)) till ∃x(Frukt(x)). Men vet inte hur jag ska ta mig ur subbevisen och inkludera premiss två för att det ska bli giltigt. Egentligen är det kanske att jag bara har svårt att komma på vilken härledningstaktik jag ska använda.

Det är inte nödvändigtvis så att alla premisser behöver användas. Om du kan bevisa slutsatsen utan att använda premiss 2 har du ju fortfarande bevisat slutsatsen, givet premisserna.

Däremot så är det inte sant att

∀x(Apelsin(x) → Frukt(x))

implicerar

∃x(Frukt(x)),

så det är kanske är därför ditt härledningsprogram klagar?

http://img17.imageshack.us/img17/9829/hrledning.jpg

Har helt fastnat här, men jag ska spela tennis nu.. Kommer fortsätta mer ikväll.