Flervariabel matte

Hej!
Någon som kan ge mig tips eller pallar att lösa de 2 uppgifterna:
http://i51.tinypic.com/dmw4fo.png
http://i55.tinypic.com/rtj01y.png

Mvh /Sara

Jag fick den första till (0,0,3/4) , vad säger facit?

jag har inte facit. hur fick du (0,0,3/4)

Kan du snälla lägga upp dina lösningar?

börja med att rita punkterna i ett koordinatsystem i 3-d, om du roterar triangeln så får du alltså kroppen K = { (x, y, z); x^2 + y^2 < z^2 < 1 }


x koordinatens tyngdpunkt ges av ( ∫∫∫ x dxdydz ) / ( ∫∫∫ dxdydz ), analogt med y och z, p.g.a symmetri är x_mc = y_mc = 0

volymen av kroppen bestäms först

μ(K) = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ ( ∫ dz ) dxdy där z går från z = √(x^2 + y^2) till z = 1

∫∫ ( ∫ dz ) dxdy =

∫∫ ( 1 - √(x^2 + y^2) ) dxdy


nu är projektionen av K på xy-planet D = { (x, y); x^2 + y^2 < 1 }


övergång till pol.koord:


∫∫ ( 1 - √(x^2 + y^2) ) dxdy =

∫( ∫( 1 - r )rdr )dθ = [0 < r < 1, 0 < θ < 2pi] =

2pi [ r^2/2 - r^3/3 ] =

2pi (1/2 - 1/3) =

pi/3



nu blir ∫∫∫ z dxdydz =

∫∫ ( ∫ z dz ) dxdy där z går från z = √(x^2 + y^2) till z = 1

1/2 ∫∫ ( 1 - ( x^2 + y^2) ) dxdy = [pol.koord] =

pi ∫( ( 1 - r^2 )rdr )dθ =

pi [ r^2/2 - r^4/4 ] =

pi (1/2 - 1/4) =

pi/4



z_mc = ( pi/4) / (pi/3) = 3/4

Såg formeln ut sådär? hade för mig det bara var ∫∫∫ x dxdydz :s Minnet är inte topp Alternativt att vi lärde oss en annan formel för det, jag minns bara att vi behövde beräkna en trippel integral iaf.. :s

Nej, när det gäller tyngdpunkt så har ovanstående skrivit rätt

Alltid bra att lära sig igen :P Ska jag se till o komma ihåg det ^^