Enkel Maclaurin uppgift

Hej,

Tänkte kolla om någon kan förklara hur man löser denna uppgift.

Visa att abs(cos(x/2) -1) ≤ x²/8 för alla reella x.

utveckla cosx/2 så du får bort ettan, dvs till ordning 1. Använd Lagranges restterm för att visa olikheten.

Cos(x/2)-1 = f(0) + f'(0)/1! *x + resttermen= f''(Tx)/2! *x²

f(0)
cos0 =1 så f(0) borde ju bli 1-1 = 0. -anm. tror detta är fel.

därefter deriverar jag cosx/2 två gånger eftersom 1an försvinner (som du skrev tidigare).

f'(0)=-1/2*sin(x/2)/1! *x sin(0) =0
f''(Tx)= -1/8*cos(Tx/2)*x²

Alltså: abs(1/8*cos(Tx/2)*x²) är mindre eller = x²/8.

Vilket är fel. Enligt facit ska det stå: 1-1/8*cos(Tx/2)*x.
Det jag inte förstår med detta svar är att det inte är mindre eller lika med x²/8. Det blir ju större om man sätter x=1.

Sätt f(x) = cos(x/2) - 1. Utveckling ger f(x) = f(0) + x f'(0) + (1/2) x² f''(ξ) för något ξ mellan 0 och x.

Vi har nu f(0) = 0, f'(0) = 0, f''(ξ) = - (1/2)² cos(ξ/2) så f(x) = - (1/8) x² cos(ξ/2) för något ξ mellan 0 och x.

Alltså gäller:
|f(x)| = |- (1/8) x² cos(ξ/2)| = (1/8) x² |cos(ξ/2)| ≤ (1/8) x².

Okej, nu är jag med. Tack Manne och Alex.