Liten fråga ang. att integrera e^(något)

[Hoppas jag inte stör! Blir nog sista frågan för idag, ! tacktack så länge!]

Jo det jag funderar allmänt på är denna e^x.

I vilka fall kan man integrera e^(["något med x"]) rakt på direkt lixom och vilka fall kan man inte det *? Till exempel e^2x går att integrera rakt på, men inte (e^2*sqrt(x)) .

Ibland måste man ju göra variabelbyte eller Partiell integration eller liknande (här t ex: (e^2*sqrt(x)))

*Jag fick för mig att när det är polynom i hela potensen så går det bra, men sedan visade sig att det inte alls gick bra, så den tumregeln höll inte.

Om vi kallar "något med x" för f(x), alltså vi har e^f(x), så går det att integrera "rakt av" om derivatan av f(x) = C (konstant). Svaret blir då e^f(x)/C
EDIT: förutom om C = 0, då blir svaret e^f(x)*x

Jaha!

Så endast om derivatan verklgen blir konstant, då kan man integrera rakt på?

Och när det är något annat lurt som x^2, x^3.. x^n eller x^(1/3), då kan man göra variabelbyte på något av det som finns på exponentplatsen?
Kan man säga så då?

Jag är ganska säker på att det inte alltid kommer fungera med variabelbyten, men generellt, ja.

Ibland kan du forma om funktionen så att det står {derivatan av funktionen g}*e^{funktionen g}
Enkelt exempel: f(x) = 2x^2*e^(x^2) = x* 2xe^(x^2). Du kan aldrig dela med inre derivatan och hoppas på att det blir bra, som i gymnasiet (där funktionerna var ännu mer elementära, inre funktionerna var då av typen f = kx där den metoden fungerar).