Hjälp med tyngdpunktsberäkningar (analys i en variable)

Hej,
Jag funderar på hur jag ska tänka här.
Uppgiften lyder:
En homogen yta begränsas av kurvorna y=sinx och y=2x/pi, x är större eller lika med 0.
Beräkna ytans tyngdpunkt.
Tyngdpunktens koordinat i x-led ges av mxT = integral x*dm och analogt för y-led.

Skärnings punkten blir pi/2 och area beräkningen borde se ut så här:
A=integral från 0 till pi/2 (sinx-(2x/pi))dx
A=1-pi/4

Därefter ska man beräkna koordinaterna för x och y och jag vet inte hur man gör det.

Hela tenta finns här. Detta är uppgift 5. http://www.maths.lth.se/matematiklth...anB2080827.pdf

Den givna ekv, mx_T = ∫ x dm, kan skrivas som Ax_T = ∫ x dA eftersom ytan är homogen.

A har du redan bestämt. Beräkna ∫ x dA med samma metod.

Hur ska man tänka när man beräknar koordinaterna?

Arean eller "massan" är enkel eftersom när man integrerar över en stäcka så får man "arean undergrafen". Därefter ser man att om man subtraherar den ena från den andra så får man endast det omslutna området kvar.

Jag fattar fortfarande inte hur jag ska fortsätta även med ditt tips: "Beräkna ∫ x dA"

Med notationen A = ∫ dA kan vi, för givet x-värde, tolka areaelementet dA som en rektangulär strimla med bredden dx och höjden h(x) = sinx - 2x/pi, dvs
dA = h(x) dx = (sinx - 2x/p) dx.

Alltså, A = ∫ dA = ∫ {0 till pi/2} (sinx - 2x/pi) dx = ...

och ∫ x dA = ∫ {0 till pi/2} x*(sinx - 2x/pi) dx = ...

Anm. Beräkningen av y_T ur integralen ∫ y dA blir något knepigare. Gissa varför.

Jag vet att du har rätt i din beskrivning men jag har fortfarande svårt att greppa vissa delar.
Förklaringen med bredden och höjden framför allt men jag får väl plugga lite mer helt enkelt.

Jag antar att för y_T så sätter man y=sinx => x=arcsiny och y=2x/pi => x=piy/2 och integrerar från 0 till 1 (y(arcsiny - piy/2)) dy.

I svaret står det dock att man ska dela dessa koordinatvärden med massan. Varför är det så?

Inget konstigt med det - det påminner ju om hur integraler definieras med hjälp av Riemannsummor, se tex
http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html

Bra, men du bör skifta ordning på termerna i den inre parentesen så att du får:
∫ y dA = ∫₀¹ y (pi*y/2 -arcsiny ) dy
- linjen y=2x/pi ligger ju till höger om sinuskurvan.

Att ytan är homogen (enl text) innbär här att den har konstant ytdensitet m/A,
så dm = (m/A) dA och mx_T = ∫ x dm = (m/A) ∫ x dA, vilket ger

x_T = (1/A) ∫ x dA.

Har du beräknat ∫ x dA och x_T nu?

omtenta imorgon?

Jag haft stora problem med att integrera för my_T.
Att integrera (y*arcsiny) har jag ingen aning om hur det ska gå till. Är det någon omskrivning kanske?

mx_T gick dock aldeles utmärk. Jag fick 1- pi²/12 och sen delade det med A vilket blev (12-pi²)/(12-3pi).

Edit: Omtenta imorn stämmer.