Svår integral: e^(2sqrt(x)) ...

Hur börjar man på denna bestämda integral och hur löser man den steg för steg (kommenterat)?

9/4
∫ e^( 2*sqrt(x) ) dx
1/4

Någon började med t = sqrt(x) vet jag och någon annan gjorde t = 2sqrt(x), men sen vet jag inte riktigt exakt. Kanske båda går på något sätt?


ps. Hur kommer det sig att man alltid kan byta t mot sqrt(x) i nästan alla fall när det finns ett rotutryck i funktionen? (Eller är det så att för vissa funktioner kan man det (och i mitt fall var det bara sådana i min mattebok ^^ ?) ?

jag skulle börja med t= (roten ur x)

anledning till varför jag väljer det variabelutbytet är för att;

derivatan av roten ur x blir 1/2*(roten ur x), och (roten ur x) har du sattit som t, sedan byter du ut enligt variabelutbytet, och när du gör det måste du även byta ut dina gränsvärden.

integralen blir enklare att lösa

Alltså, det är inte så att man kan byta ut vissa funktioner mot ett t, utan man byter variabel för att lättare se. Vid variabelbyten måste man dock alltid komma ihåg att "dx" inte alltid bara kan bytas ut mot "dt", utan man måste se hur dessa förhåller sig till varandra.

sätt t=sqrt(x)
då har vi x=t^2
dx/dt = 2t

Med nya variabler har vi alltså :

9/4
∫ e^( 2*sqrt(x) ) dx = ∫ e^( 2t ) *2t dt
1/4

Med partiell integrering får vi:

∫ e^( 2t ) *2t dt = (1/2 * e^(2t))*2t - ∫ (1/2) *e^( 2t ) *2 dt =
e^(2t)*t - ∫ e^( 2t ) dt = e^(2t)*t - (1/2)*e^( 2t )

Insättning av gamla variabler ger primitiven:
sqrt(x)*e^(2sqrt(x)) - 1/2 *e^(2sqrt(x)) = e^(2sqrt(x)) *(sqrt(x) - 1/2)

Sätta in värdena och räkna ut får du göra själv. Tänk på att du inte behöver sätta in de gamla variablerna, utan du kan använda sambandet t=sqrt(x), för att få ut vad dina gränser blir i t-variabeln istället.

Jaha så bra, då vet vi hur man löser dendär!
fint.


Men dethära att ofta byta sqrt(x)=t ... Alltså på föreläsningen skrev han "sub t = [hela rotutrycket] , då blir det bra"
Funkar det för allt funktioner som innehåller sqrt(x)? Eller jag menar, blir det alltid så att funktionen blir mera lätthanterlig om man gör sqrt(x)=t ? Kan man säga så då?

Problemet med rotuttryck (eller funktioner som innehåller inre funktioner över huvud taget) är att de kan bli rätt så komplicerade och svårhanterliga, därför vill man i så stor mån man kan byta ut dem mot mer lätthanterliga funktioner. Det är mycket möjligt att funktionen blir mer lätthanterlig om man substituerar bort rotuttryck (det är bra att ha som tumregel), men det är inte säkert att det blir så.

Man kan också lära sig standardintegraler/derivator utantill och ta hjälp av dem när man skall substituera saker. Tex är derivatan av arcsin(x) = 1/sqrt(1-x^2), så om man kan få rotuttrycket att se ut på det sättet vet man att integralen av den delen blir arcsin osv.

Hur som helst så är integrering ett djävla jobb, och det är skönt att ha program som kan integrera åt en (tex http://integrals.wolfram.com/index.jsp ). Man måste ta till massa knep och tricks och lära sig massa standardsaker utantill. Som tur är så är lärarna snälla och ger funktioner som med ett visst trick blir lätta att lösa. Vet du inte hur du skall göra, prova med alla trick du har fått lära dig och se vad som händer.