Linjär avbildning, definera en följd.

Givet en bas e1, e2 i planet, definiera en linjär avbildning F av planet på sig själv genom villkoren F(e1) = 3e1 + e2 och F(e2) = e2. Definiera därefter en följd u1, u2,u3,... av vektorer i planet genom att sätta u1 = e1 + 2e2 och u{n+1} = F(un). Ange en formel för unn som funktion av n.

gjorde följande beräkningar för att ha nåt att starta på:

u1 = e1 + 2e2
F(u1) = u2 = 2(3e1 + e2) + 2e2 = 6e1 + 4e2
F(u2) = u3 = 6(3e1 + e2) + 4e2 = 18e1 + 10e2
F(u3) = u4 = 18(3e1+e2) + 10e2 = 54e1 + 28e2

osv. Jag ska alltså hitta nåt fint samband mellan detta (se det med induktion, behövs inget bevis dock) Och skriva som en funktion av n, ex un = (3+n)e1 + (3n-2)e2.
Har svårt att se detta samband dock. Tips?

Hur fick du det så? Är det verkligen korrekt? Jag vill ha det till
u2 = F(u1) = F(e1 + 2e2) = F(e1) + 2F(e2) = (3e1 + e2) + 2e2 = 3e1 + 3e2
u3 = F(u2) = F(3e1 + 3e2) = 3F(e1) + 3F(e2) = 3(3e1 + e2) + 3e2 = 9e1 + 6e2
u4 = F(u3) = F(9e1 + 6e2) = 9F(e1) + 6F(e2) = 9(3e1 + e2) + 6e2 = 27e1 + 15e2
osv.

Aaahh, det har du rätt i, tack! Slarvfel, hade ju bara skrivit fel på första och tryckt in en tvåa där av någon konstig anledning, så allt blev fel.

Har i alla fall listat ut att un= 3^(n-1) e1, men vad som ska stå framför e2 är fortfarande lite lurigt.
Tänkte om jag skrev det som
u1 = 1+2
u2 = 3+3
u3 = 9+6
u4 = 27+15
u5 = 81 + 42

(detta är alltså bara värdena för e2 i u)
Då ser jag att jag även här han använda 3^(n-1) adderat med något annat.

Jag skrev det resterande som
u3 = 3*3 - 3 = 6
u4 = 6*3 - 3 = 15
u5 = 15*3 - 3 = 42

Hittade dock ingen logik i det hela med u1 och u2. Och egentligen inte för detta heller. Nåt annat sätt man borde tänka?

Ett sätt att se på uppgiften är att se att i basen (e1, e2) representeras F av matrisen


Låt oss kalla dena matris A. I samma bas är då

u_1 = (1, 2)^t
u_2 = A * u_1
u_3 = A * u_2 = A² * u_1
...
u_n = A^(n-1) * u_1.

Så om vi kan hitta en formel på sluten form för A^n så kan vi få en formel för u_n. Ett sätt att göra det är att diagonalisera matrisen A.

Tack för tipset! Men förstod inte riktigt va du menade med u_1 = (1, 2)^t.
Och tyvääärr så har vi inte gått igenom diagonalisering än, så borde finnas nåt annat sätt att lösa det på.
Fast antar att en diagonalisering blir
(3 0)
(0 3)
multiplicerat med
(1 0)
(1/3 1/3)
då jag får ut samma matris A, om jag inte missuppfattat begreppet diagonalisering? Fast det där hjälpte väl inte direkt kanske...

Med u_1 = (1, 2)^t. så menar jag radvektorn (1, 2) transponerat, det vill säga kolonnvektorn


Anledningen till att jag skrev (1, 2)^t är för att det är mycket lättare än att faktiskt försöka få in i kolonnvektor på ett bra sätt i text här på forumet.


Njä, en diagonalisering är att skriva A = PDP^-1 för D diagonal och P inverterbar. Poängen är att om man kan göra så så kan man skriva

A^n = PDP^-1 * ... * PDP^-1 (n faktorer)
= P D^n P^-1 (mellanliggande P^-1 och P tar ut varann)

och för diagonala matrisen D kan man enkelt skriva D^n på sluten form, och därmed också A^n på sluten form.


Ett ekvivalent synsätt, som kanske är enklare att förstå, är att vi försöker hitta f1 och f2 som är egenvektorer till F, och som dessutom bildar en bas för R².

Tanken är då att för vektorer skrivna i basen (f1, f2) så är det väldigt lätt att hitta ett uttryck för F applicerad n gånger på en vektor: Det är nämligen så att

F^n(a*f1 + b*f2) = a λ1^n f1 + b λ2^n f2

för a, b godtyckliga skalärer, och där λ1 och λ2 är egenvärdena svarandes mot f1 och f2.

Alltså kan vi räkna ut u_n i basen (e1, e2) genom följande procedur:

1) Ta u1.
2) Skriv den som en linjärkombination i basen (f1, f2)
3) Applicera F på den n-1 gånger
4) Byt tillbaka till basen (e1, e2).

Frågade min lärare lite snabbt och fick svaret: "Dessutom ingår inte teorin för att göra en sådan omskrivning (det kallas diagonalisering) i den här kursen, så det är kanske bättre att vänta med det till fortsättningskursen." Så kanske ingen idé att jag ens ger mig in i det där.


Förlåt men jag förstår verkligen inte, har inte jobbat med basbyte så mycket heller, men det kanske måste vara sådär komplicerat? Hur hittar jag f1 och f2 som egenvektorer till F? Förstår inte ens vad jag ska göra..

Nä, okej, jag bara påpekade lite andra sätt man kan lösa uppgiften på. Men om teorin för dessa inte är genomgången så är det nog inte meningen att du ska göra så.

Jag tror att det lättaste i så fall är, som du redan försöker, att räkna ut några exempel och sen se mönster.

Som du redan har märkt så verkar mönstret för koefficienten framför e1 vara att det är multipliceras

2, 3, 6, 15, 42, ...

och vill hitta ett mönster.

Ett tips är att kolla på differensen mellan angränsande tal i följden.

Ja, tack för tipsen, är bra att kunna kolla på lite olika metoder
Jo, jag har ju fått ut att u_n = 3^(n-1) e1 i alla fall
koffecienten för e2 har jag bara kommit fram till att u_n = (u_n-1 + 3^(n-2)) e2
Men jag måste ju få ut det som en koffiicient oberoende av u_n-1

Fastnat på samma grej. Har du kommit på nåt? Nån annan som kan hjälpa till?

Har ni inte diagonalisering med i kursen?! Spektralteorin som är så stort inom linjär algebra.. :s Känns ju dumt. Jag hade iaf diagonaliserat, allt annat känns onödigt? Eller så e de bara jag som tkr det e lättast.

Du får väl försöka hitta sambandet.

Det är väldigt förvirrande när man skriver påståenden som "u_n = 3^(n-1) e1" eller "u_n = (u_n-1 + 3^(n-2)) e2" som uppenbart är oriktiga. Så låt oss införa lite notation.

Säg att

u_n = a_n e1 + b_n e2.

Ni verkar redan ha kommit fram till att

a_n = 3^(n-1)

och att

b_n = b_(n-1) + 3^(n-2). (1)

Ni vill hitta en formel för b_n på sluten form.

Tips: Kan ni använda (1) till att skriva en formel för b_n med hjälp av summatecken?