Hjälp med matteläxan =)

Hej,
Nån som kan hjälpa mig med en integral? Gärna en lösning.

Integrera från 0 till oändligheten ln(1+e^x)/(e^x) *dx

det där kan jag svara på direkt med rak arm men vad får jag tillbaka?

Du får riktigt bra karma! =)

kan du inte testa lösa den själv genom att sätta integralen från 0 till oändligheten, och du kör ett variabelsubstitut på e^x, sen så byter du dina gränsvärden också. den blir enklare

rutgerben123: jag testade t=e^x och fick ut ett felaktigt svar och antog därefter att variabel byte var fel metod.

ln(1+e^x)/e^x *dx =>
t=e^x
dt/dx=e^x
dx=dt/e^x
=>
ln(1+t)/t * dt/t => ln(1+t)/t^2 ... detta är ju lika svårt som den första integralen därför tänkte jag att det var fel. Har jag gjort fel någonstans?

rutgerben123: jag testade även att partialintegrera men kom inte heller någon vart. =(

Du kan använda partiell integrering (och sen partialbråk) för att lösa ∫ln(1+t)/t² dt.

Enklare är kanske att börja med att använda substitutionen t=e^(-x).

du har kommit hit . ln(1+t)/t^2

[1/t(ln(1+t))] - |1/t(1+t)dt - partiell integration

oj såg fel den stog i nämnaren t^2, men du ska använda partiell integration iaf, ändrat

rutgerben123:
Efter variabelsubstitution och partialintegrering får jag:
[1/(1+t) *1/t^2] - ∫1/(1+t) * -2/t^3 dt. Förenklad ser ut: +∫2/(t^3(1+t))

Därefter som dbshw sa är partialbråkuppdelning lämpligt.

När jag sedan löser integralen får jag några termer som går mot oändligheten vilket enligt facit är fel. Integralen ska vara konvergent.
[1/(1+t) + 1/t^2 + 2lnt + 2/t -1/t^2 - 2ln(1+t)] gränser 1 till oändligheten efter variablebytet.

Edit: Det jag egentligen undrar nu är om∫2/(t^3(1+t)) är rätt eller fel eftersom jag då skulle ha en del följdfel.

Det blir fel redan vid ∫2/(t^3(1+t)). Integralen av 1/t² är nämligen inte -2/t³.

Ok tack för ditt snabba svar.

dbshw: Men formeln för partialintegration ser ju ut så här.

F(x)*g(x) - ∫F(x)-g'(x)

Där f(x) =ln(1+t)
och g(x) =1/t^2
Alltså vill jag ju ha derivatan av 1/t^2 vilket är -2/t^3.
Eller?