Differentialekvation av första ordningen...

Helge Buk har problem!

Jag vill helst inte serveras något svar utan få tips om hur jag ska tänka.


Uppgiften går (delvis) ut på att skriva om följande funktion som ett system av 1:a ordningen, dvs y' = f(x,y):

y'' = -9.8 + 0.1(y')^2

Villkor är att y'(0) = 0 och y(0) = 10 (y(0) = 10 tror jag är oväsentligt i den här deluppgiften).



Jag har testat med följande:

y' = 0.1((y')^3)/3 - 9.8x + C = ((y')^3)/30 - 9.8x

men y'(0) = 0 ger ju C = -((y')^3)/30 och det går väl inte ihop? Isåfall blir ju y' helt enkelt -9.8x eftersom de andra termerna tar ut varandra?


Även i övrigt verkar det jobbigt att y' finns i både höger och vänsterledet, eftersom det ska vara f(x,y) i HL.


Ett alternativ jag tänkt mig är att y' = (y^3)/30 - 9.8x + C eftersom antiderivatan av y' rimligen blir y, men då har vi ju ändå problemet med att C tar ut (y^3)/30 så att vi fortfarande får y' = -9.8x.


Hmmm... Nu när jag tänker efter inser jag ju att -9.8x faktiskt är en funktion av x och y, men att y råkar vara noll...eller? Fast det går ju inte att komma från y' = -9.8x till y'' = -9.8 + 0.1(y')^2...


HELP!

Sätt u(x) = y'(x). Då får du u' = -9.8 + 0.1 u².

Men då får jag ju mitt första scenario, med y' = -9.8x + ((y')³)/30 , eller hur?

Nej, om du har:

u' = -9.8 + 0.1u^2 så är
du/(-9.8 + 0.1u^2) = dx

Nu kan du integrera så det blir fint efter lite omskrivningar. Om du har:

y'' = -9.8 + 0.1y'^2 så kan du ju inte anti-derivera det till y' = -9.8x + y'^3/30, eftersom derivatan av detta inte blir det du började med.

Jag förstår att du försöker antiderivera y'' = -9.8 + (y')²/10, men du gör fel på (y')². Du har antideriverat den m.a.p. y', inte m.a.p. x som du skall. Derivatan av (y')³/3 m.a.p. x är inte (y')² utan (y')² y''.

Fattar inte riktigt det här, men ska klura lite under kvällen. Återkommer säkerligen med följdfrågor närmsta dagarna...

Integrering har aldrig varit min grej...

Eftersom du nämnde vad dx är antog jag att den var av betydelse, testade därför med u(x) = int(u'(x) dx) och fick då efter lite omskrivning x + u^5 / 3 du, men då är frågan vad du är och kanske framförallt... varför gjorde jag som jag gjorde...? Låtsas att jag går i 5:an och aldrig hört talas om integraler, för ungefär så känns det just nu.


Varför ska jag antiderivera m.a.p. x?




Vi tar det från början, och plockar bort siffrorna för att slippa onödigt krångel, använder istället g och c. Ursprungsekvationen blir då:

y'' = -g + c(y')²

Det här är formeln för en fallande kropp där y är höjden (y'' alltså accelerationen och y' hastigheten), g är gravitationen och c är en friktionskoefficient som här råkar vara 0.1 men skitsamma, vi kör med c nu.

Även om y'' är en funktion av y' är det ju i grunden helt och hållet en funktion av tiden, så vi kallar den andra variabeln t istället för x.

Det känns för mig som om jag måste få fram y(t) innan jag kan få fram y'(t), men det kanske är helt onödigt? Och är det någon skillnad mellan att antiderivera och integrera egentligen? Alltså för en obestämd integral förstås.

Det är det du gör med de andra termerna när y'' blir y' och -9.8 blir -9.8x, och då kan du inte göra något annat med termen 0.1(y')².

Just det ja.. Hehe.