Derivatan av int(x)

Funktion: http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28x%29
Derivata: http://www.wolframalpha.com/input/?i...ate+int%28x%29

Om man kollar på funktionen ser det ut som att derivatan alltid är 0. Men om man frågar wolfram vad derivatan är blir det något helknasigt. Kan någon förklara detta?

int(x) är väl inte deriverbar öht?

Wolfram lyckas derivera den och mitt ögonmått lyckas derivera den... Men med olika resultat.

Umm.. jag vet inte riktigt var jag ska börja...

Int(x) är alltså x avrundat neråt till närmsta heltal.

Int(x) är inte en kontinuerlig funktion*, den är därmed inte deriverbar. Varför Wolfram ger dig en derivata har jag inget bra svar på. Antagligen har den beräknats numeriskt, och då ger diskontinuiteten förstås ett mycket stort värdet på dy/dx, eftersom dx kan vara hur litet som helst, och dy alltid är 1**, mellan närliggande värden.

*) Det finns en asymptot mellan x = n.99999999999.... och (n+1).'
**) eller 0, om int(x) = int(x+h).

Ett intressant begrepp att kolla upp är distribution. Diracdistributionen har t.ex. integral 1 trots att den är oändligt smal och oändligt hög. Antagligen är det andra regler för distributioner än för.. ?

Vad de har kommit fram till där är att Int(x) = Floor(x) där den sistnämnda funktionen tar ett tal och ger heltalsdelen. Det innebär att Floor(1) = 1, Floor(1.5) = 1, Floor(2) = 2 exempelvis. Vi har en diskontinuitet i varje heltalspunkt, vilket innebär:

lim (x → 2+) Floor(x) = 2
lim (x → 2-) Floor(x) = 1

Som du påpekar är inte funktionen deriverbar i dessa punkter, ty vi har ingen kontinuitet. Vi skulle kunna skriva funktionen som (för x ≥ 0):

Floor(x) = 0 om 0 ≤ x < 1, 1 om 1 ≤ x < 2, 2 om 2 ≤ x <3, ... osv

Vidare anges d/dx Int(x) = Floor'(x) vilket inte är speciellt konstigt och om du zoomar in ser du att det tycks stämma bra: http://www.wolframalpha.com/input/?i...29+from+0+to+4

Kring 0 mellan heltalen, men det skjuter i höjden ju närmre ett heltal vi kommer. I en perfekt värld där inga numeriska fel förekom beroende på metoden skulle Floor'(x) vara 0 överallt förutom i undantagspunkterna där den skulle vara odefinierad, ty det är inte ens meningsfullt att derivera i punkter där funktionen är icke-kontinuerlig. Så, mitt tips är alltså att det beror på att derivatan beräknas numeriskt.

Otrolig förklarar väldigt bra i inlägget ovan, men jag vill betona lite just att int(x) och floor(x) är samma funktion. Wolfram säger alltså bara att derivatan av int(x) är lika med derivatan av int(x). Detta är väl ändå ett helt rimligt svar, om man beaktar att int(x) faktiskt inte är deriverbar i vanlig bemärkelse.

Fast man kan väl uttrycka floor(x) som en serie av Heavisidefunktioner (http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function), som är deriverbara som distributioner, så att derivatan blir en diracspik för heltal och 0 annars?

Så tänkte jag också för floor är ju helt klart styckvis kontinuerlig.