Hur bevisa en matematisk hypotes?

Satt och läste om Goldbachs hypotes och dom skriver att alla primtal dom testat med hittils har funkat. Får man verkligen inte "anta" att det stämmer då?

http://sv.wikipedia.org/wiki/Goldbachs_hypotes

Nej, det får man inte.

Man måste bevisa att det gäller för alla tal.

Men finns det något sätt att bevisa denna hypotes då?

Att på något sätt bevisa att det faktiskt gäller för alla primtal, vilket ingen tycks ha lyckats med än. Att det stämmer för väldigt många primtal är dock en god fingervisning till att det antagligen gäller, men inget bevis.

Man måste förklara varför det är som det är, typ?

Men går det även att göra på detta? Primtal är väl oregelbundna, därför bör det vara svårt att kunna göra ett bevis. Eller?

Men borde man inte kunna befordra den till en teori istället

Jo, det är ju svårt. Därför ingen klarat det än.


Nej. Teori i sådana här sammanhang betyder inte samma sak som hypotes.

Kanske. Man kan motbevisa den genom att hitta ett primtal som inte uppfyller hypotesen tex. Men det är nog inte vad du var ute efter.

Hypotes: Alla udda tal större än 1 är primtal.
Test: 3 är ett primtal. 5 är ett primtal. 7 är ett primtal. 11 är ett primtal. 13 är ett primtal. 17 är ett primtal. 19 är ett primtal.
Slutsats: Eftersom alla udda tal jag har testat med är primtal, får jag anta att hypotesen stämmer.
Fråga: Eller...?


Men i viss mening kan man faktiskt antaga att hypotesen stämmer. Det är tillåtet att ställa upp satser som beror av hypotesens sanning under förutsättning att man uttryckligen har med det som ett antagande, en premiss, i satsen.

Ett annat (verkligt) exempel på att satser inte är sanna bara för att man har testat väldigt många värden:

Låt π(n) beteckna antalet primtal mindre än eller lika med n, och låt Li(n) = integralen av 1/log(x) dx från 2 till n.

Hypotes: pi(n) ≤ Li(n) för alla n.

Detta har verifierats sant för alla n < 10^14, men är falskt i allmänhet. Vi vet att ett motexempel existerar, men känner inte till ett explicit motexempel. Det finns dock anledning att tro att första motexemplet förekommer kring 1.4 * 10^316. Hursomhelst så kan vi alltså testa hypotesen med en herrejävlans massa tal utan att upptäcka ett motexempel, men icke desto mindre är hypotesen falsk. Läs mer på http://mathworld.wolfram.com/SkewesNumber.html .

Det kan alltså vara värt att leta efter motexempel till Riemann-hypotesen och ha chans på prispengarna! Antar att det redan finns datorer som körs dygnet runt för att hitta motexempel, men det skulle ju vara lite kul att ta hem prispengarna bara för att man hittade ett motexempel.

Kör hårt! Jag stödjer dig till fullo. Bara för humorvärdet ifall du nu lyckas.