Tangentplan

Hej,
Jag har lite funderingar om en uppgift:
Man ska bestämma en ekvation för tangentplanet i punkten P = (-1,0,1) för ytan 2x^2 - e^x*y - 1/ z = 0

Jag vet att man kan beräkna det enkelt genom att ta gradienten så att f ' x(P) = -4, f ' y (P) = 1 och f ' z (P) = 1 så att tangentplanets ekvation blir: -4x + y + z = 5, vilket är rätt svar..

Dock finns det en annan formel för beräkning av tangentplan z(tangentplan) = f(a,b) + f'x(a,b)(x-a) + f'y(a,b)(y-b). Den kräver att man skriver ytan som z(x,y) = 0 så att jag får fram att z = 1/(2x^2 - e^x*y) där a = -1, b = 0.

Genom att derivera med avseende på x och y får jag att f'x(a,b) = 4, och f'(a,b) = -1. Alltså typ i princip samma som mha gradienten men inte riktigt..

Men undrar mer, fungerar båda metoderna lika bra för detta problem eller lämpar sig vissa tal bara för gradienten och andra för "formeln"...?

EDIT: Såg precis att det blir samma svar! Får ju z = 1 + 4(x+1) - 1(y - 0) ==> z= 1+4x+4-y ==> -4x + y + z = 1+4 ==> -4x + y + z = 5 dvs. samma svar! Alltså fungerar båda metoderna tydligt!

Finns en annan fin metod också, som jag brukar tillämpa. Med brukar menar jag egentligen sedan typ en vecka tillbaka då jag först beräknade min första partiella derivata.

Hur som helst!

Uppgift:
Finn tangentplanet i punkten P: (-1,0,1) på ytan 2x²-(e^x)*y-1/ z = 0

Skriver om ytans ekvation först:

2x²-(e^xy)-1/ z = 0
1/(2x²-e^(xy)) = z = f(x,y)

f'_x(x,y) = -(4x-ye^(xy))/(2x²-e^(xy))² = (ye^(xy)-4x)/(2x²-e^(xy))²
f'_x(-1,0) = 4/(2-1)² = 4

f'_y(x,y) = -(-xe^(xy))/(2x²-e^(xy))²
f'_y(-1,0) = -1/(2-1)² = -1

Nu till det intressanta då. Om vi rör oss 1 enhet i x led, 0 enheter i y led, så rör vi oss 4 led i z i tangentplanet, eftersom f'_x = 4 i vår punkt P. Då vet vi alltså en riktningsvektor i tangentplanet som är:

(1,0,4)

[alla vektorer jag skriver ovan och nedan är kolonnvektorer]

På samma sätt vet vi en till riktningsvektor. Om vi rör oss 0 i x led, 1 i y led så rör vi oss garanterat -1 i z-led i tangentplanet, eftersom det var vår partiella derivata för y. Då vet vi en till riktingsvektor i tangentplanet som är:

(0,1,-1)

Vill vi ha reda på en normalvektor till tangentplanet så kryssar vi bara dessa två vektorer:

(1,0,4) x (0,1,-1) = (-4,1,1)

Det finns två enkla sätt att hitta planets ekvation ur detta, ett sätt är att läsa av elementen till en normalvektor och skriva upp planets ekvation såhär:

-4x+y+z = d

Där d bestäms genom att stoppa in en godtycklig punkt som man vet finns i tangentplanet, då får man ett värde på d. En punkt vi vet finns är ju punkten P.

-4(-1)+0+1 = d
5 = d
så
-4x+y+z = 5
-4x+y+z-5 = 0

Eller mer intuitivt lösa en ekvation. Nämligen normalvektorn i skalärprodukt med (x,y,z)-(-1,0,1) och allt detta lika med noll. (x,y,z)-(-1,0,1) ger ju oss många vektorer i hela rummet, eftersom x,y och z kan variera mellan alla tal. Eller närmare bestämt, vektorn mellan punkten (-1,0,1) och alla värden på x,y och z. Men, vi vill inte hitta dessa vektorer i rummet, utan vi vill hitta alla ortsvektorer i planet, vilket då kan ses som alla punkter i planet. Kan vi hitta alla dessa, ja då har vi planets ekvation. Då vill vi alltså hitta alla vektorer som uppfyller (x,y,z)-(-1,0,1) och som är vinkelräta emot normalvektorn, dessa måste ligga i tangentplanet. Om något är vinkelrätt så är skalärprodukten lika med noll, alltså gäller det vi har nedan.

Då har vi:

(-4,1,1)•((x,y,z)-(-1,0,1)) = 0

Normalvektorn skalärprodukt med (x,y,z)-(-1,0,1) och detta i likhet med noll. Dessa x,y, och z kommer alla ligga i planet, dvs vi får planets ekvation.

(-4,1,1)•((x,y,z)+(1,0,-1)) = 0
-4x+y+z-4*1-1*1 = 0
-4x+y+z-5 = 0

Mvh

Vad härligt, tack för tipset! Alltid lika bra att veta flera sätt att lösa en uppgift på så kan man också dubbelkolla om man är osäker om man räknat rätt!