Svårförstådd matteuppgift - Sannolikhetslära!

Goddag kära flashbackare!

Nu är det såhär att jag i nian hade en uppgift på ett prov som jag tyckte var svårförstådd. Det var endast en i klassen som fick rätt på den. Den är nog rätt vanligt förekommande och många av er har säkert hört den men jag tänkte dra den igen och höra era åsikter!
Den lyder såhär:

Kalle är med i ett TV-program. Kalle har tre dörrar framför sig. Bakom en dörr står det en Ferarri, och bakom de andra två står det en pingvin. För att vinna Ferrarin måste Kalle välja rätt dörr.

Kalle väljer dörren längst till höger.

Programledaren öppnar dörren längst till vänster, och det visar sig att bakom den står det en pingvin.
Kalle får nu chansen att välja en ny dörr. Har Kalle störst chans att få Ferrarin om han väljer om, eller om han inte väljer om?


Nu är det såhär att vår lärare påstod att Kalle visst hade störst chans att vinna Ferarrin om han valde om, medan jag och i princip alla andra stod emot och sa: Det är ju 50/50 i vilket fall? Vad tycker ni?

Längesedan nu jag gick i nian, men jag kom att tänka på den idag och fick den inte ur huvudet.

Thinkers, think!

Om det är så att programledaren visste var bilen fanns, och medvetet öppnar en dörr som innehåller en pingvin (och som inte är dörren Kalle valde), så har läraren rätt. Se även https://www.flashback.org/t661435.

Om programledaren bara öppnar en dörr slumpmässigt och det råkade vara en pingvin där så har du och din klass rätt.

Han ska helt klart byta.

Lättaste sättet att se det:

Gissade han fel låda från början så vinner han om han byter.
Gissade han rätt låda från början så förlorar han om han byter.

Chansen att gissa rätt från början är 1/3, chansen att gissa fel 2/3.

Det stod inte uttryckligen i uppgiften att programledaren visste om vad han öppnade, så läs om Monty Fall!

http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf

Programledaren visste vad han öppnade.

Men jag har ändå svårt att förstå. Från början så fanns det tre dörrar, och därmed 1/3 sannolikhet att Kalle väljer rätt. Programledaren öppnar en felaktig dörr. Då finns det alltså 2 dörrar kvar att välja mellan. Kalle har valt en. Om det finns två möjliga alternativ kvar, så är sannolikheten att Kalle valt rätt 1/2, vare sig han väljer om eller inte.


Jag är förmodligen helt ute och cyklar, men förklara gärna varför!

Läste du tråden jag länkade? Kollade du på länkarna som fanns i den tråden?

En annat alternativ som brukar övertyga dom flesta: Hitta en kompis. Spela spelet med honom/henne. Var programledaren. Så du väljer ett av A, B, C, och skriver ner på ett papper, men visar inte för kompisen. Din kompis väljer också ett av A, B och C, och säger till dig. Säg att kompisen väljer B. Då säger du att "Det står inte A på pappret" eller "Det står inte C på pappret", beroende på vilket som är sant. (Om båda än sanna så väljer du en på måfå.) Kompisen får sedan välja att byta val eller inte byta val. Kör tio gånger där kompisen byter, och tio gånger där han/hon inte gör det.

Genomför ovanstående, och om du fortfarande är förvirrad så kan du komma tillbaka hit till tråden.

Edit: Om du har dåligt med omedelbar tillgång till kompisar kan jag erbjuda mig att göra experimentet med dig över chatten.

Tänk på fallet med en miljon dörrar då. Du väljer en, programledaren öppnar 999998 pingvindörrar, och du kan antingen hålla fast vid din dörr eller byta till den enda dörr programledaren låtit stå kvar. Antingen valde du rätt från början eller så gjorde du det inte.

Nyckeln är just att han valde dörr innan ledaren öppnar en felaktig. Det blir inte plötsligt större sannolikhet att den Kalle valde är rätt, det är fortfarande bara 1/3.

En riktig klassiker, gamla favoritproblemet!

Efter lite filosofering över detta så inser man att detta inte är annat än logiskt. Glöm aldrig bort att du bara har 1/3 chans att gissa rätt från början oavsett om han öppnar en felaktig dörr eller inte. Detta kan inte ändras oavsett vad som händer.

Man kan inte förklara bättre än såhär, om du ändå inte förstår så är det något som du har missat i den grundläggande logiken hos en människa.

För en ny tävlande som kommer in och får välja efter att en dörr har öppnats, men utan att få se vilken dörr den första tävlande har valt, gäller symmetri och kommer därmed ha sannolikheten 1/2 att välja rätt.

Tänk på att bara för att det finns två alternativ behöver dessa inte ha sannolikheten 1/2. Det är ju inte säkert att sannolikheten är lika stor för de två fallen. Om jag t.ex. spelar på lotto kan jag hävda att det finns två utfall: jag vinner samt jag förlorar. Men sannolikheterna för dessa är inte lika stora.

Säg såhär, att du får välja mellan dessa tre dörrar och väljer en. Programledaren (med exakt samma förutsättningar, erbjuder alltid ett byte) erbjuder dig att byta till de två andra dörrarna. Självklart väljer att byta till dessa, eftersom sannolikheten för vinst är 2/3.

Att han hade öppnat en av dörrarna och visat en pingvin gör ingen skillnad, ty det är ju alldeles säkert att minst bakom en av dessa dörrar står en pingvin.