Tangentplan

I stand corrected, tror jag missuppfattade frågan lite.

Då får jag c = sqrt(2 - a^2). Då måste jag ju få reda på a på något sätt, hur?

Jag tycker man bör ha med ett +-, men vi kan ju kolla om w = (a, a, +-sqrt(2-a^2)) ligger i planet genom att kolla om w - (6, 0, 0) är ortogonal mot normalen n = (2a, 4a, -+6sqrt(2-a^2)).

(w-(6,0,0))*n = 2a^2 + 4a^2 - 6(2-a^2) - 12a = 12a^2 -12a -12 = 0 => a^2 - a - 1 = 0 (ett eventuellt minustecken i z-komponenten försvinner eftersom gradienten har motsatt tecken)

som har lösningarna 1/2 +- sqrt(1/4 + 1) = (1 +- sqrt(5))/2. Plustecknet kan förkastas eftersom c då skulle vara imaginärt. Lösningarna blir alltså (a, a, +-a) med a = (1-sqrt(5))/2.

Hmm... men svaret är

x + 2y + 3z = 6
x + 2y - 3z = 6

Kan man verkligen komma dit från det jag (du) kommit fram till?

Men om planets normal (1, 2, 3) är parallell med gradienten (2a, 4b, -6c) har vi att koordinaterna för punkten är (1/2, 1/2, -1/2). Men insatt i funktionen f ger det f = 0.

Jag kontrollerade genom att beräkna kryssprodukten (w-(6,0,0) x (w-(0,3,0)). Den är parallell med gradienten. Man kan också kontrollera att de vektorerna är ortogonala mot gradienten (eller ja, det följer ju av att kryssprodukten är parallell med gradienten). Säker på att du inte skrivit av fel någonstans?

Om det var x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6, så skulle w = (1, 1, -1) ligga på ytan och i planet x+2y-3z = 6. Likaså skulle w = (1, 1, 1) ligga i planet x+2y+3z = 6. Man ser i båda fallen att gradienten är parallell med planets normal.

Ytan är en enmantlad elliptisk hyperboloid:
http://www.youtube.com/watch?v=POURp44JdZg

Ett plan genom de givna punkterna kan ej tangera hyperboloiden - av ungefär samma skäl som att en linje genon en inre punkt till en hyperbel ej kan tangera hyperbeln. Nåt fel på uppgiften?

Byt tecken framför z-termen i ekv för ytan, så att vi i stället får ellipsoiden
x² + 2y² + 3z² = 6 eller

x²/6 + y²/3 + z²/2 = 1 ... (1)

Man kan visa att ekv för ett tangentplan till en andragradsyta av typen
(x/a)² + (y/b)² ± (z/c)² = 1
genom punkten (x0,y0,z0) på ytan kan skrivas

x*x0/a² + y*y0/b² ± z*z0/c² = 1, se t.ex

http://www.math.ucla.edu/~ronmiech/C...45/811_45.html

Enl (1) ger detta tangentplansekvationen

x*x0/6 + y*y0/3 + z*z0/2 = 1 ... (2)

Punkterna (x,y,z) = (6,0,0) & (0,3,0) skall ligga i planet (2). Insättning ger x0 = y0 = 1. Om vi sätter z=z0 kan ekv (2) nu skrivas
x/6 + y/3 + (z0)²/2 = 1 eller

x + 2y + 3(z0)² = 6.

Insättning av x = x0 =1 & y = y0 = 1 ger sedan z0 = ±1.
Tangentplan:

x + 2y ± 3z = 6.

PS. I hyperboloidfallet får vi ett minustecken framför z-termen i (2), vilket ger (z0)² = -1, dvs imaginärt z0.