Tangentplan

Bestäm alla punkter på ytan

x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2yz = 1

i vilka ytans tangentplan är parallellt med planet

x - y + 2z = 0

Min början:

Kalla funktionen för f(x,y,z). Min yta svarar då mot nivåytan f(x,y,z) = 1. Vi söker de punkter (a,b,c) som uppfyller

grad f(a,b,c) || (1,-1,2) (= normalvektorn till planet som tangentplanet ska vara parallellt med)
f(a,b,c) = 1

grad f(a,b,c) = (2a + 2b, 2a + 4b + 2c, 2b + 6c) || (1,-1,2)

Detta är ekvivalent med att

(2a + 2b)/1 = (2a + 4b)/-1 = (2b + 6c)/2

Samtidigt ger ju villkoret f(a,b,c) = 1 att

a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 2ab + 2bc = 1

Men hur ska jag kunna få fram något av detta? Måste ju ha fler villkor, men vilka?

Vet du svaret? Isf skicka, skriver hur jag tänkt snart

+-(1/13) * (5, -4, 2)

(2a + 2b, 2a + 4b + 2c, 2b + 6c) = k (1,-1,2)

är ett linjärt ekvationssystem. Eftersom det är linjärt så gäller att om (a,b,c) är en lösning med k = 1 löser (ta, tb, tc) systemet med k=t. Det vill säga, löser du systemet
får du ut alla möjliga lösningar till ursprungsproblemet då de nödvändigtvis är parallella med den vektorn (a, b, c). Kontrollera sedan för vilka k de ligger på din yta.

Ledning: Att två plan är parallella innebär att deras normalvektorer är parallella. I ditt fall ska gradienten vara parallell med normalvektorn (1,-1,2). Detta kan uttryckas som
grad(f(a,b,c))=k(1,-1,2)

punkterna a,b,c måste också ligga på ytan, f(a,b,c)=1

Jag kan ha tänkt lite galet, Men du vet att normalen till planet som tangentplanen skall vara parallella till har normalen (1,-1,2). Och två parallella plan bör inte nödvändigtvis ha samma normal, men de skall också vara parellella, dvs multipel av den andra normalen, och normalen till tangentplanet ges av
(2a+2b, 2a+4b+2c,2b+6c), som då =t(1,-1,2), sen kan vi bryta ut t för tillfället och får fram att (a,b,c) är (5/2,-2,1), sen får vi om vi lägger till t igen (inte samma t som förut nu, men du förstår principen)
t(5/2,-2,1). Alltså ges alla punkter av den linjen.

Edit: Ok som någon skrev så måste du självklart kolla vilka av punkterna som ligger i planet, detta görs lätt genom att ersätta x,y,z med 5/2*t, -2*t resp. 1*t i ekvationen för ytan.

Tack då löste det sig ju fint. Jag tar en till när jag ändå är igång!

Bestäm ekvationer för alla plan som tangerar ytan

x^2 + 2y^2 - 3z^2 = 6

och som innehåller punkterna (6,0,0) och (0,3,0).

Jag har insett att planets normalvektor n ska vara på formen

n = k * grad f(a,b,c)

där (a,b,c) är tangeringspunkten. Kommer inte vidare.

Om punkterna u och v ligger i planet är vektorn u-v ortogonal mot normalen, det vill säga

(6, -3, 0)(2a, 4b, -6z) = 0

vilket innebär a = b. (a, b, c) måste ligga på ytan och på så sätt får du ut c.

Ta fram ekvationen för planet.Du har 2 punkter och nu vill du ha fram en till. Du kan tex finna att punkten (2,2,sqrt(2)) ligger i planet. Nu kan du bilda 2 vektorer och om de inte är linjärt beroende kommer de spänna upp planet.

Ekvationen för ett plan bestäms av tre punkter, inte av två. Det finns oändligt många plan som går genom (6, 0, 0) och (0, 3, 0). Ta xy-planet och rotera kring linjen mellan (6, 0, 0) och (0, 3, 0) så får du flera plan som alla innehåller de två punkterna.

Jo jag vet, jag skrev att två var givna och att han behövde en till. Sen tog jag punkten (2,2,sqrt(2)) som exempel på en tredje punkt.

Tror du läste lite slarvigt

Fruktansvärt matematiskt att ta en godtycklig punkt på ytan va
Gradienten i den punkten är (4, 8, - 6sqrt(2)). Planets normal blir (6, -3, 0) x (4, -2, -sqrt(2)) som har z-komponenten 0, det vill säga inte kan vara parallell med ytans gradient.
Tror du tänker lite slarvigt.