Matematik C - Derivata 2

Hej jag skulle kunna behöva en förklaring till hur man undersöker med hjälp av derivatan i vilka intervall funktionen f(x)=x^3-10,5x^2+30x-17 är växande respektive avtagande

Det skulle vara bättre om man gick igenom det steg för steg. Är tacksam för all hjälp jag kan få!

f'(x) = 3x^2- 10,5 * 2 x + 30
f'(x) = 0
blir en pq formel, lös sedan efter de på vanligt manér?

Börja med att fundera ut vad som ligger mellan ett växande och ett avtagande intervall? Jo en 0-punkt. Dvs ställen där derivatan = 0.

Du får börja med att derivera funktionen
f'(x)=3x²-21x+30
sätt derivatan = 0
f'(x) = 0 = 3x²-21x+30 => x = 2 eller 5 (lösning av 2:a gradare eller rita på en grafritare)

Så vi vet att x=2 och x=5 är punkter där derivatan är 0, och att mellan dessa kommer vara växande eller avtagande.

Då kan du sätta upp en tabell.

Värde 1: x < 2
värde 2: x = 2
värde 3: 2<x<5
värde 4: x = 5
värde 5: x > 5

Sätt in dessa värden i f'(x), dvs, f'(ett tal mindre än 2), f'(2), f'(ett tal mellan 2 och 5), f'(5) och f'(ett tal större än 5) och undersök vilka tecken du får.

Får du negatvt tecken, så är funktionen avtagande
får du 0 så är det en max/min eller terrasspunkt
får du positivt värde så är funktionen växande.

I detta fall får vi att
f'(x<2) = positivt
f'(x=2) = 0
f'(2<x<5) = negativt
f'(x=5) = 0
f'(x>5) positivt

alltså är
f(x) växande för x<2
f(x) avtagande för 2<x<5
f(x) växande för x>5

Tack! fattade genast hur man gör! men om vi tar en annan uppgift som är på högre nivå

Är funktionen f(x)= 10/sqrt x -900/x -x^2 växande eller avtagande för x=8?

Med sqrt menar jag = roten ur

Vad jag har förstått så måste jag omvandla 10/sqrt x men hur gör man det

På samma sätt som tidigare. Tankemönstret jag skulle använda är:
Vad betyder det att funktionen är växande eller avtagande? Jo derivatan är positiv eller negativ. Är funktionen inte växande eller avtagande, så är det konstant, och då är derivatan 0.

Alltså. Det vi behöver veta är derivatan i punkten x=8, eller snarare tecknet på derivatan i x=8.

Vad vi gör är att deriverar f(x)

För att förenkla deriveringen kan vi skriva om
f(x)= 10/sqrt x -900/x -x^2 = 10 * x^-0,5 - 900*x^-1-x^2

vi får att

f'(x) = 10*(-0,5)*x^-1,5 - 900*(-1)*x^-2 - 2x = -5/(x*SQRT(x)) + 900/x^2 - 2*x

Vi sätter in x=8, alltså
f'(8) = -5/(8*SQRT(8))+900/64-16 = -2,158... NEGATIVT
Alltså. f(x) är avtagande för x=8.

tja! jag har fattat hela vägen tills du kom fram till: den som jag har understruken, kan du förklara vad du har gjort där

Vad vi gör är att deriverar f(x)

För att förenkla deriveringen kan vi skriva om
f(x)= 10/sqrt x -900/x -x^2 = 10 * x^-0,5 - 900*x^-1-x^2

Spoiler:
ty 1/x = x^-1 och SQRT(x) = x^0,5 så 1/SQRT(x) = x^-0,5


vi får att

f'(x) = 10*(-0,5)*x^-1,5 - 900*(-1)*x^-2 - 2x = -5/(x*SQRT(x)) + 900/x^2 - 2*x

x^-a = 1/x^a
x^(0,5) = sqrt(x)

Delar upp det i steg:
10* (-0,5) * x^(-1,5)
-5 * x^(-1,5)
-5 * (1/x^(1,5))
-5 * (1/(x^1*x^(0,5))
-5/(x*sqrt(x))

-900 * (-1) * x^(-2)
900 * x^(-2)
900 * (1/x^2)
900/(x^2)

Aha nu fattade jag! tack!

Men har en sista uppgift som jag behöver klargöras

Bestäm största och minsta värdet i intervallet -1 < x < 4 för funktionen f(x)=x^4+8x^3/3-30x^2+12
Jag vet att man ska derivera först, men är inte van med att derivera just sådanna tal. Någon som vet hur man gör steg för steg?

När du deriverar polynom får du derivera varje term (= varje uttryck som står mellan två plustecken) för sig.

derivatan av x^n = n*x^(n-1).
derivatan av en konstant = 0.

--> 4x^3 +(1/3)*3*8x^2-60x.

Där derivatan är noll vänder funktionen. Största och minsta värdet är antingen i vändpunkterna, eller i intervallets ändpunkter. Du vill alltså lösa ekvationen f´(x) = 0, och beräkna funktionens värde för lösningarna, samt beräkna f(4) och f(-1).