ODE med variabelbyte (flervariabel)

Bestäm alla C^2-funktioner y(x) som uppfyller den ordinära differentialekvationen

x^2 * d^2y/dx^2 + 3x * dy/dx - 3y = 5x^2, x > 0

genom att gå över till variabeln u = lnx.

Ok, med u = lnx fås

dy/dx = dy/du * du/dx = dy/du * 1/x

Men jag får problem med andraderivatan:

d^2y/dx^2 = d/dx(dy/dx) = d/dx(dy/du * 1/x) eller? Sen då? Är inte bekväm med detta.

Absolut, det stämmer. Sedan applicerar du produktregeln på detta:

d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = d/dx (dy/du · 1/x) = d²y/du²·1/x² - dy/du·1/x²

Märk väl att d/dx (dy/du) = d²y/du²·du/dx = d²y/du²·1/x enligt kedjeregeln.

Men räcker det verkligen med produktregeln? Måste jag inte använda kedjeregeln igen här? Blir inte rätt när jag inte använder kedjeregeln, men jag vet inte hur jag ska applicera den. Blir det bara samma sak igen, dvs att jag först deriverar map u och sedan kompenserar med du/dx?

Nej, du använder ju kedjeregeln också förstås. Nej, du deriverar ju med avseende på x, men eftersom det efter variabelbytet gäller att y = y(u) där u = u(x) gäller ju kedjeregeln, dy/dx = dy/du·du/dx (Leibniz notation). Vidare, det viktiga att förstå här är ju att själva derivatan, dy/dx fortfarande är en en funktion av samma variabler och när du deriverar denna med avseende på x igen appliceras kedjeregeln på precis samma sätt.