Beskriv definitionsmängden, dess innre och rand. Öppen, sluten, begrändsad, kompakt??

Hej!
Behöver hjälp med en flervariabel uppgift. Jag har ingen aning om hur man ska göra... så det skulle uppskattas om någon kunde lösa och förklara detta utförligt för mig.


Tack på förhand.

Logaritmen har villkoret att argumentet ska vara > 0. Detta ger:


0 < 2x² + 16x - y² + 4y ⇔ 0 < 2(x² + 16x) - (y² - 4y) ⇔ 0 < 2(x + 8)² - 128 - (y - 2)² + 4 ⇔ 124 < 2(x + 8)² - (y - 2)²

Definitionsmängden är alltså de båda två "yttre delarna" av en hyperbol. Eftersom randen inte tillhör mängden är den öppen och mängden är uppenbart obegränsad. Kompakt är den absolut inte, eftersom då krävs det att mängden är sluten och begränsad.

Jag har precis börjat läsa den här kursen, och jag ser att du har kvadratkompletterat, men om jag inte har fel så har du gjort fel när du har brytit ut tvåan vid x-termerna. + 8x ska det väl stå? Aja, jag förstår iaf vad du har gjort.

Men jag förstår inte din text så mycket.
Hur vet jag att randen inte tillhör mängden?
Varför är mängden "uppenbart obegränsad"?
Och hur vet jag att mängden inte är sluten?

Ja, jag har gjort ett fel där vid kvadratkompletteringen! Tror inte det påverkar slutresultatet speciellt dock, bara att konstanten ändras lite.

Randen tillhör inte mängden eftersom det är strikt olikhet. Eftersom det enda villkoret ges av en hyperbel vet vi att mängden måste vara obegränsad eftersom inget i övrigt begränsar. Mängden är sluten om randen till mängden faktiskt tillhör mängden, vilket den inte gör nu.

Just det, tack så mycket. Jag skulle också beskriva Dfs innre? Vad är det?

En liknande uppgift;


Df: -1 ≤ ((x/3) + (y/5)) ≤ 1

Sluten och begränsad eftersom randen tillhör mängden. (pga. ≤ ?)
Och kompakt för att den är sluten och begränsad.

Räcker det med detta bara?

Nej, någon övre begränsning finns inte. Givet exempelvis ett x kan man alltid finna ett y så att talparet (x, y) ligger innanför mängden hur långt bort vi än går. Däremot är mängden sluten i det här fallen eftersom varje punkt på randen (vilka är ränderna här?) faktiskt tillhör mängden.

Eftersom mängden då är obegränsad kan den ej vara kompakt (kompakt är ju sluten och begränsad).

Yes, jag förstår. Du är grym. Tack!