variabelbyte i dubbelintegral

upgiften;
http://www.pluggakuten.se/wiki/images/d/d5/Mkmkmkm.JPG
lösning;
http://www.pluggakuten.se/wiki/image...fdfdfdfdff.JPG
http://www.pluggakuten.se/wiki/images/e/e3/Dfdfdfdf.JPG

kan ngn ge mig ledtråd så jag kan lösa uppgiften, tack!

Spontant undrar jag om ett variabelbyte u = x² + y² och v = x² lämpar sig bättre? Eller kanske polärt?

EDIT: Annars, fungerar det inte att faktiskt lösa ut y ur y² + y = u + v? Du vet ju att y ≥ 0, bara att välja den positiva lösningen! Tips är även då att dela upp integranden, y/(2 + 4y) = 1/4 -1/(4(2y + 1)).

men hur kommer gränserna för v=x^2 att vara? hur ska jag hantera y=x^2+1


jag tänkte på det, men vad ska jag göra sen då jag har 1/4 -1/(4(2y + 1)) ?? jag måste fortfarande utrycka y i de nya variablerna, hur ska jag göra det??

Genom att lösa andragradsekvationen y² + y = u + v!

lyckades inte;
http://www.pluggakuten.se/wiki/images/e/ea/King.JPG

skulle du kunna hlp mig med göra det? Tack!

y² + y = u + v ⇔ (y + 1/2)² - 1/4 = u + v ⇔ (y + 1/2)² = u + v + 1/4 ⇔ y + 1/2 = ± √(u + v + 1/4)

Därmed får du y = ± √(u + v + 1/4) - 1/2 = ± 1/2·(√(4u + 4v + 1) - 1). Då y ≥ 0 gäller att y = 1/2·(√(4u + 4v + 1) - 1) och du kan nu slutföra variabelbytet och förhoppningsvis kan du beräkna integralen smärtfritt.