Har en cirkel oändligt många hörn?

Jag menar snarare att cirkelns definition ska vara det den alltid varit, men att vi kan skapa precis en sån cirkel genom att låta en liksidig konvex polygons antal hörn n gå mot oändligheten. Nu när du säger det så minns jag att dbshw talade om något sådant, men jag ser inte varför det inte skulle gå att skapa en kvadrat med fyra hörn genom samma process. Det har alltså snarare implikationer för vad "oändligt många hörn" ska tolkas som. Om vi alls ska tillåta "oändligt många hörn" så ser jag inte hur vi kan säga annat än att den polygon jag talar om konvergerar mot en cirkel - utifrån tidigare argument jag fört.


Vi kan skapa kvadrater genom att låta en (ej liksidig) polygons hörn gå mot oändligheten på ett visst sätt, och den form polygonen kommer anta är en kvadrat. Alltså har det återigen implikationer för vad "oändligt många hörn" innebär; det är enda rimliga sättet att tolka det på åtminstone, om vi inte vill bojkotta "oändligt många hörn" helt istället.

Jag antar att antalet hörn som processen "konvergerar mot" är en inneboende egenskap för själva processen vi väljer när vi "sätter ut" hörnen på polygonen.

Jämför gärna med Fourier-serier. De kan gå mot stegfunktionen likväl som mot ett polynom. Alltså kan vi - beroende på hur processen för hur vi skapar Fourier-serien ser ut (vilka koefficienter vi väljer) - välja hur många diskontinuiteter vår Fourier-serie ska konvergera mot.


Jodå, jag tänkte mig det som en analog bara, den kanske inte var speciellt träffande.


Som sagt, jag vill inte att vi ska definiera cirkeln som en polygon med oändligt med hörn. Jag menar återigen bara att cirkeln - oavsett definition - är den form som polygonen kommer anta, givet att vi alls tillåter "oändligt många hörn".


Jag hoppas detta inte gäller om vi sluter oss till att det inte är en definition jag är ute efter?


Jag menar snarare att det vi måste fråga oss är vad "oändligt många hörn" faktiskt innebär. Finns det någon bättre förklaring än den jag försöker mig på? Om inte, ska vi inte tillåta den process jag beskriver? Nå jag vet inte, jag kanske missar något fundamentalt, men jag kan inte se vad det skulle vara.

En sista summering av vad jag kommit fram till - ser fram emot svar från någon mer bildad.

1) Polygonen är konvex, dess hörn är det yttersta på figuren. Alla hörn ligger på cirkeln med radie r; alltså kan polygonen inte vara större än cirkeln.

2) Polygonens area går mot π·r², den måste alltså innesluta samma område som cirkeln. Alltså kan polygonen inte vara mindre än cirkeln.

3) Enligt 1 och 2 är polygonen en cirkel med radie r och den har konstruerats genom att låta antalet hörn gå mot oändligheten. Alltså har en cirkel oändligt med hörn, om man så vill.

Måste fråga vad du menar med "skapa".

...

I vilket fall som helst var det inte meningen att försöka hävda att det är cirkelns definition, utan återigen vill jag bara försöka visa att polygonen och cirkeln har samma geometriska form om vi låter hörnen gå mot oändligheten på polygonen. Jag ser inte hur det skulle kunna vara på något annat vis utifrån de argument jag funnit, så någon får gärna förklara var jag gör fel rent matematiskt.

Om de är likadana så har de definitivt samma omkrets. Kommer de ha samma omkrets är ju frågan? Borde ju gå att lösa med gränsvärden om man kan hitta ett uttryck. Först kanske vi bör hitta en funktion som faktiskt konstruerar den figurer du påstår i fråga.

Men i övrigt håller jag väl med dig. Frågan är bara om de verkligen har samma omkrets. Vi såg ju dbshws bild innan annars. Pi är ju som bekant inte lika med 4.

Tack för förslaget, givetvis bör omkretsen kontrolleras också.

Omkretsen av en liksidig polygon fås enligt följande uttryck*

s/(2·tan(pi/n)) = R·cos(pi/n)

där vi har att sidlängden s = p/n där n är antal sidor/hörn, p är omkretsen, R står för den cirkel som polygonen kan inskrivas inom, säg att cirkeln har radien r, något som ger följande:

p/(n·2·tan(pi/n)) = r·cos(pi/n) ⇒
p = n·r·cos(pi/n)·2·tan(pi/n) = n·r·cos(pi/n)·2·sin(pi/n)/cos(pi/n) = n·r·2·sin(pi/n)

Låter vi återigen n gå mot oändligheten så följer att omkretsen p = 2·pi·r.

*http://en.wikipedia.org/wiki/Apothem (såg nu även att de hävdar där att arean för polygonen går mot arean för en cirkel då antalet hörn går mot oändligheten, så jag antar att det stämmer också)

En teoretisk cirkel kan väl vara helt rund?

Vad skulle den bestå av?

Vad skulle den bestå av?

Fast du betraktar inte grundproblemet. Om vi låter hörnen gå mot oändligheten i en polygon, så som jag beskriver tidigare, kommer då figuren att gå mot en cirkel; eller ekvivalent uttryckt, när du säger "inga hörn", hade du lika gärna kunnat säga "oändligt med hörn" och mena samma sak?

Dr-Nej tycks däremot antyda att cirklar har hörn.

Nej, det är du som inte har en definition för vad en cirkel är. Jag definierar en cirkel såsom en matematisk konstruktion som kan beskrivas m.h.a. cirkelns ekvation. Om du låter antalet "hörn" gå mot oändligheten säger det ingenting om hur figuren ser ut. Hörnen kan t.ex. bilda vilken figur som helst och således finns det ingenting som säger att en figur ser ut som en cirkel bara för att du låter hörnen gå mot oändligheten.

Jag tror du slår lite knut på dig själv i det tankesätt du använder - du försöker nämligen beskriva något du inte bestämt vad det är.

Nej, det är du som inte har en definition för vad en cirkel är. Jag definierar en cirkel såsom en matematisk konstruktion som kan beskrivas m.h.a. cirkelns ekvation. Om du låter antalet "hörn" gå mot oändligheten säger det ingenting om hur figuren ser ut. Hörnen kan t.ex. bilda vilken figur som helst och således finns det ingenting som säger att en figur ser ut som en cirkel bara för att du låter hörnen gå mot oändligheten.

Jag tror du slår lite knut på dig själv i det tankesätt du använder - du försöker nämligen beskriva något du inte bestämt vad det är.

Det finns ett problem med din konstruktion. Det finns punkter på randen av cirkelskivan som aldrig kommer träffas av någon punkt.

Om du ska hävda att det är någon typ av gränsvärde så blir det onödigt tekniskt och man tvingas till onaturliga val.

Det missar ändå en viktig poäng, som folk fortfarande viftar bort trots att det togs upp i #5, vilket är en av de vettigaste inläggen i tråden.

Vilka punkter då? Har du något matematiskt uttryck för dessa punkter?

Aha, ska vi bestämma vad som är matematik utifrån vad som är "naturligt"?

Första delen av det inlägget håller jag med om. Att sedan göra utsagor på rent godtycke finner jag mindre tilltalande.