Nivåkurvor

Hej

Någon som har tips om hur jag ska göra:

Ta fram några av nivåkurvorna för f(x,y)=5x^2+6xy+5y^2

f(x,y)=k k=0,1,2 tex

Vi börjar med k=0

x^2+6xy/5+y^2=0

kvadratkomplettera

(x+3y/5)^2=0

y=-5x/3

dvs en rät linje

Övriga nivåkurvor kommer vara förskjutna längs med y-axeln

f(x,y) = 5x² + 6xy + 5y² = (x-y)² + 4(x+y)².

Alltså f(x,y) ≥ 0 .. ( f(x,y) = 0 ⇔ x=y=0 )

Nivåkurvor:
(x-y)² + 4(x+y)² = C, där C > 0 (skippar fallet C=0),
eller, med C = 4k² (k>0),

(x-y)²/(2k)² + (x+y)²/k² = 1,

dvs nivåkurvan f(x,y) = 4k² är en ellips med halva storaxeln 2k och halva lillaxeln k.

Anm1. Ellipsernas storaxlar ligger på linjen x+y = 0 och lillaxlarna på linjen x-y = 0.

Anm2. Eftersom f(x,y) = 5x² + 6xy + 5y² är postivt definit, följer ur teorin för kvadratiska former att nivåkurvorna är ellipser. Vet man detta kan man sen göra en lämplig omskrivning för bestämma stor- och lillaxlar samt orientering av dessa.

shit vad fel jag gjort, sry.