Lagrange's restterm

Börjar dra ihop sig mot tenta och har verkligen inte fått något egentligt grepp om hur man jobbar med restterm på Lagrange's form. Har två uppgifter jag vill ha hjälp med:

1) Uppskatta (67)^(1/3) med ett fel på 1/10000.

2) Uppskatta pi med ett fel på 1/100.

I 1) kan jag tänka mig att Maclaurinutvecklingen av (1+x)^a är användbar, men hur? Och hur gör man egentligen med resttermen?

I 2) vet jag inte ens vilket uttryck jag ska börja med.

Jag tror att för 1) är det enklast notera att

(67)^(1/3) = 4 * (1 + 3/64)^(1/3)

och sen använda Maclaurinutvecklingen du nämnde. Du vill ta så pass många termer att du sedan kan bevisa att resttermen är mindre än 1/10000; för att göra detta är det användbart att skriva resttermen på Lagranges form.

För 2) finns det många sätt. Ett tror jag är att använda formeln

π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)

och approximera den med hjälp av Maclaurinutvecklingen.

67^(1/3) = 4 * (1 + 3/64)^(1/3)

Maclaurinutveckling av (1 + x)^(1/3):

(1 + x)^(1/3) = 1 + x/3 - 2x^2/9 + 5x^3/81 + ... + r(x)

där r(x) är resttermen på Lagrange's form:

r(x) = ( f^(n+1)(t) * x^(n+1) )/ (n+1)!

för något t mellan 0 och x.

Vad gör jag nu? Jag känner att jag skulle behöva ett generellt uttryck för derivatan för att kunna beräkna f^(n+1)(t) men jag ser inget samband vid upprepad derivation. Går det att komma runt eller är jag inte tillräckligt skarpögd?

Det borde inte vara så svårt att hitta ett uttryck för f^(n+1)(t), i termer av t. Tänk på att du vet att detta t ligger mellan 0 och 3/64, så det är det du behöver använda för att bevisa att resttermen är mindre än 1/10000.

Men egentligen tror jag inte du behöver nåt generellt uttryck för f^(n+1). Det är lättare att bara göra som följer:

1) Räkna ut f'(t).
2) Kolla om du klarar av att bevisa att f'(t)/1! *(3/64) < 1/10000 (för t mellan 0 och 3/64.)
3) Om inte, räkna ut f''(t).
4) Kolla om du kan bevisa att f''(t)/2! * (3/64)^2 < 1/10000.
5) Om inte, räkna ut f'''(t), etc.

Tror inte du behöver testa så många steg innan du klarar av att visa att resttermen blir mindre än 1/10000, och då har du också hittat en approximation som du kan bevisa är nära nog.

Right. Jag får att f^(4)(t)/4! * (3/64)^4 är garanterat mindre än 1/10000, dvs n=3 duger. Då går vi tillbaka till Maclaurinserien för (1 + x)^(1/3):

(1 + x)^(1/3) = 1 + x/3 - 2x^2/9 + 5x^3/81 + ... + r(x)

och n=3 ger att jag ska ta med fram till och med termen med x^3, så

67^(1/3) = 4 * (1 + (3/64)/3 - 2*(3/64)^2/9 + 5*(3/64)^3/81)

med ett fel på 1/10000.

Men när jag slår följande på wolfram får jag resultatet 0.0009... och det är väl för dåligt? Det blir ju fel på fjärde decimalen, men det får bli det tidigast på femte:

(67)^(1/3) - 4 * (1 + (3/64)/3 - 2*(3/64)^2/9 + 5*(3/64)^3/81) = 0.0009...

Har jag gått för kort alltså?

whops.. nvm

Det där är fel. Fetmarkerade termen ska vara x²/9.

Bra, då är jag med! Då försökte jag mig på en till men får inte helt rätt:

Uppskatta cos1 med ett fel på 1/10^5.

cosx = 1 - x^2/2 + x^4/4! + ... + r(x)

r(x) = ( f^(2n)(t) * x^(2n) )/(2n)!

och

|r(x)| ≤ x^(2n) / (2n)!

|r(1)| = 1/(2n)! ≤ 1/10000 för n=4

Stoppar in n=4 i serieutvecklingen av cosx och får

cos1 ≈ 1 - 1/2 + 1/24 - 1/120 + 1/720 = (720 - 360 + 30 - 6 + 1)/720 = 385/720

Men detta ger inte ett tillräckligt bra fel, och facit svarar med cos1 ≈ 389/720. Var blir det fel?

Fel serieutveckling. Tänk på att serieutvecklingen till cos bara har jämna termer. Den är alltså

1 - x²/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...,

och inte

1 - x²/2! + x^4/4! - x^5/5! + x^6/6! - ...

Satan vad klantigt, tack för hjälpen.

Men en sak jag inte har greppat... när jag ska utveckla till n=4, ska jag inte ta med 5 termer då? För n=0 ger ju första termen i cos-serien, och då borde n=4 ge den femte? Dvs den med x^5? Eller innebär n=4 helt enkelt bara att man tar med 4 termer?

x^5 är väl en sinus-term och försvinner då i serieutvecklingen.