kvadratisk formel

http://www.pluggakuten.se/wiki/image.../Kollning1.JPG
http://www.pluggakuten.se/wiki/image.../Kollning2.JPG
http://www.pluggakuten.se/wiki/image.../Kollning3.JPG

OBS! det räcker med att se det sista länken för att förstå vad jag är ute efter, tack!

Om matrisen är diagonal, dvs om B = 0, är det lätt att se om A h² + C k² för (h; k) ≠ (0; 0) kan anta endast positiva värden (A>0, C>0), endast negativa värden (A<0, C<0) eller både och (A<0, C>0 eller A>0, C<0). Determinanten blir i de två första fallen positiv och i det sista fallet negativ.

Nu är det så fint att matrisen M = (A B; B C) kan diagonaliseras till D = diag(d1, d2) med en ortogonal matris T:
D = T^t M T.

Det gäller då att d1 d2 = det(D) = det(M) = AC - B² (*).

Om vi sätter (h; k) = T u får vi
A h² + 2 B hk + C k² = (h; k)^t M (h; k) = u^t T^t M T u = u^t D u (#).

Enligt första stycket i detta inlägg kan vi från det(D) = d1 d2 se om u^t D u endast kan anta ett tecken eller om det kan anta två olika tecken. Genom likheterna (*) och (#) ovan innebär detta att vi från AC - B² kan se om A h² + 2 B hk + C k² antar lika eller olika tecken.

förlåt, men jag hängde inte riktig med. jag har inte läst om hur man kan diagonalisera en metris och resten som du skrev. undrar om det finns ett annat sätt att se det på?tack!

Okej... Jag kan nog visa det på annat sätt...

Vi börjar med att kvadratkomplettera uttrycket:
f(h, k) = A h² + 2B hk + C k² = A (h + Bk/A)² + (Ck² - A (Bk/A)²)
= A (h + Bk/A)² + (AC - B²) k²/A

Sätt
α = A
β = (AC - B²)/A
u = h + Bk/A
v = k

Vi får då f(h, k) = α u² + β v². Detta uttryck kan anta olika tecken om och endast om α och β har olika tecken, vilket vi kan skriva α β < 0. Men α β = AC - B², varför f(h, k) kan anta olika tecken omm AC - B² < 0.

Om A = 0 fungerar inte ovanstående, men om C ≠ 0 kan vi byta roll på A och C samt h och k och använda samma argument.

Om både A = 0 och C = 0 är f(h, k) = 2B hk. Om B ≠ 0 kan f(h, k) alltid anta olika tecken; t.ex. har f(1, 1) och f(1, -1) olika tecken. Om B = 0 är f(h, k) = 0 för alla (h, k); detta fall är inte intressant.