PDE - Värme i sfär

Hej, har en trevlig PDE som jag har problem med.
Problemet gäller värmeutveckling i en sfär med en konstant temperatur runt hela sfären/randen, en begynnelse-temperatur i hela sfären och en given temperatur T1 i r = 0 efter tiden t1.

Är speciellt intresserad av temperaturen i r=0 uppnår tex en viss temperatur men också ett allmänt uttryck för u(r,t)

------------------------------
(∂^2 u)/(∂r^2 )+ (2/r)(∂u/∂r) =(1/α) (∂u/∂t)

eller

(R'' T) + (2/r)R' T =(1/α)RT'
------------------------------

där: α är en materialkonstant [m2/min] och r är radien[m].

Ansatsen är u(r,t) = R(r)*T(t)

u(0,t1) = T1
u(d/2,t) = Tu (En sfär i en ugn som håller Tu)
u(r,0) = Tk

------------------------------

Har fått fram:
R(r) = c1*cos⁡(kr)/r + c2*sin⁡kr/r
genom att ansätta v = r*R.

samt:
T(t) = c3*e^(-αk^2 t)


Resten tänker jag inte skriva men att allmänt bestämma k och c1,c2,c3 har jag inte problem med, dock ställer BV och RV till det rejält för mig.

Utan RV,BV så bör ju lösningen se ut som u(r,t) = a0 + summa[Cn * Rn(t) * Tn(t)]
dvs kombinationer av sin/cos/exp men jag lyckas inte bestämma vilket av allt detta som blir kvar.

Har fått tips att "omdefiniera temperaturskalan så det blir ett homogent randvillkor" men jag förstår inte riktigt hur jag ska göra.


Blir själv snurrig av läsa ovanstående i denna form men om någon har ett liknande exempel med lösning skulle jag bli glad, hittar inget på nätet eller i min litteratur.

Jag får inte samma lösning som du har för R(r). Genom samma variabelsubstitution kommer jag till (för R(r)):

1/R×d/dr(r×dR(r)/dr) = -λ²

där λ är en okänd konstant. Lösningen till differentialekvationen är en Besselekvation, t.ex. med randvillkoren f(a) = 0, |f(0)|<∞ (dessa randvillkor gäller för ett cirkulärt vibrerande membran med radie a (oberoende av vinkeln) som är fixerat i randen) är

R(r) = J_0(r*z_01/a)

Det borde stå om Besselekvationer i din bok.

Ah okej, har inte hållt på med PDEs längre än några veckor, aldrig stött på Besselfunktionen innan och substitutionen hade gjorts med -λ och inte -λ² i HL. Kämpar vidare, tack för hjälpen!

Om du kallar konstanten för -λ eller -λ², eller något annat för den delen, så ger det fortfarande samma svar. Själv brukar jag använda -λ² för att jag slipper skriva roten ur hela tiden om lösningen är t.ex. en linjärkombination av sin och cos.