3 i min klass fyller år samma dag

Att hans mamma och pappa har sex en gång per år och det är samma datum, pappan har ärvt det ifrån sina föräldrar.

Var är den där användaren Dr. Wily? Han brukar ju lösa alla kluriga problem.

Fel.

Ungefär 16% chans är det att 3 eller mer personer har samma födelsedag.

Haha alltså är ni dumma allihopa eller? Man tar alla dagar och gör om de till procent.

365 dagar = 365%.

365/20=18,25.
18,25/3=6,083333 %

Svar: 6,0833333% chans.

Du är väl inte seriös? Du är en paradox hela du, säger att vi är dum med den där uträkningen? Snacka om att säga emot sig själv.


Exakt. Oväntat att så få tagit stöd till födelsedagsparadoxen.

Haha, dagens skratt

Vi har 21 personer(a-u) som alla har 1/365 chans att fylla år ett givet datum. Det innebär att för ett givet datum är det (364/365)^21 = 94.4% chans att INGEN fyller år det datumet.

Att person a fyller år det datumet är 1/365 = ~0.3% chans.
Att a och b fyller år det datumet är 1/365^2 = 0.0000075 =0.00075%
att a och b och c fyller år det datumet är 1/365^3 = 0.00000002 = 0.000002%

Det finns totalt 1330 kombinationer av "triss"(abc, abd, abe osv). Alltså, sannolikheten att hitta 3 personer av 21 som fyller år 1 Jan är 1330*(1/365^3) = 0.000027 = 0.0027%

Det finns totalt 365 dagar som dessa kombinationer kan inträffa på. Sannolikheten at hitta 3 personer av 21 som fyller år samma dag är 1330*(1/365^3) * 365 = 0.00998 = 0.998%, alltså ~1%.

Låt P(A) beteckna sannolikheten att inga elever i klassen fyller år samma dag.
Låt P(B) beteckna sannolikheten att exakt två elever i klassen fyller år samma dag.
Låt P(C) beteckna sannolikheten att minst tre elever i klassen fyller år samma dag. Det är P(C) vi söker.

Vidare vet vi att P(C) är komplement till P(A) + P(B) d.v.s. P(C) = 1 - P(A) - P(B)

P(A) kan beräknas som en serie oberoende av varandra sannolikheter att ingen fyller år samma dag.

P(A) = 365/365 * 364/365 * 363/365 * ... * 345/365 =
= 365!/344! * 365^(-21) = 0,5563

P(B) beräknas på följande sätt:

Vi kan välja två elever ur en klass på 21 på C(21,2) = 210 sätt.
Dessa två elever kan välja födelsedag på 365 sätt. Resten av eleverna kan inte ha samma födelsedag:

P(B) = 210 * 365!/345! * 365^(-21) = 0,3386

Alltså: P(C) = 1 - 0,5563 - 0,3386 = 0,1051

Svar: 10,51% chans att tre eller fler elever fyller år samma dag i en klass med 21 elever.

EDIT: Denna uträkning stämmer inte helt då det i själva verket blir mer komplicerat för någon att orka med här skulle jag tro. Läs http://mathforum.org/library/drmath/view/56650.html för mer info.

Att TS har tre personer i klassen som fyller år samma dag är antingen sant eller falskt vilket gör at sannolikheten antingen är 1 eller 0, så där är inget at räkna på.

Nåväl vad är sannolikheten att av 21 slumpmässigt valda personer exakt tre personer är födda samma dag om vi (felaktigt) antar att det alltid är 365 dagar på ett år och sannolikheten är 1/365 att en person är född på godtyckligt valt datum.

Vi börjar med att titta på perspektivet från en person, kallad Nils.
Vad är sannolikheten att 2 av hans 20 klasskamrater har samma födelsedag som han har?
X=#personer av 20 som har samma födelsedag som Nils
X binomialfördelat med n=20 och p=1/365

P(X=2)=(20 över 2)*364^18/365^20= (***)

Detta är alltså sannolikheten att det finns 3 som har samma födelsedag och en av dem är Nils.
Nu var ju inte Nils speciell utan det skulle blivit samma sannolikhet med en annan person.

Nu finns det (21 över 3) olika sätt att välja 3 personer av 21 och (20 över 2) att välja tre med Nils som medlem
Så svaret blir

21 över 3/20 över 2*(***)=0,0095=0,95%

Nej, du kan inte multiplicera sannolikheter sådär. Hade det varit, säg, 200000 kombinationer istället för 1330 så skulle din sannolikhet ligga över 100 %.

Jag orkar faktiskt inte räkna ut det här även om jag tror att jag kan det. Jag tänkte i stället uppmärksamma den så kallade födelsedagsparadoxen (eng. birthday paradox eller birthday problem).
För att sannolikheten ska vara över 50% att två personer ur en slumpmässigt vald grupp människor ska ha samma förelsedag så räcker det att gruppen består av 23(!) personer. För att samma sannolikhet ska vara 99% så krävs det bara 57 personer.
Detta kan förklaras på följande vis:
Föreställ en lång tabell på en rad på 365 kolumner där den första personen placeras slumpmässigt (n=1). Att kollision inträffar med 2 personer är då uppenbarligen 1 på 365 (skiter i skottår mm), eftersom att det skulle krävas att person nummer två slumpades ut på samma plats som person nummer ett.Vi antar också en rektangulär fördelning av födelsedagar över året, vilket visserligen är felaktigt, men skulle leda till lägre nummer än 23 och 57.
Så alltså: med 1 person är p = 0, med 2 personer är p = 1/365. Om vi vid den här tidpunkten introducerar en tredje person så skulle sannolikheten att denna har samma födelsedag som någon av de två tidigare vara 2/365. Man kan nu se ett mönster och inse att sannolikheten att inte få en kollision med 3 personer är (1-0)*(1-1/364)*(1-2/364) = 0.9918, och sannolikheten för en kollision är således lika med 1-0.9918 = 0.0082.
Om man fortsätter så är ända fram till 365/2, som en del kanske tycker vore ett mer logiskt svar än 23 i början, så inser man att vid introduktionen av den 183 personen har man en sannolikhet av 50% att den ska krocka med någon annan, samtidigt som vi vet att 182 sådana här introduktioner med en avtagande sannolikhet redan gjorts, och sannolikheten för en kollision för n = 183 måste vara mycket högre än 50% (tex var det vid introduktionen av den 182a personen nästan en sannolikhet av 50% för kollision).
Med n personer:
P(kollision) = 1 - (i = [0..n])∑(1-i/365)

EDIT: leprasjukling lösning ser korrekt ut.

(21/365)*(20/365)*(19/365)~= 1,6*10^-4

0,016% att 3 personer ska fylla år på en viss dag

sen om t.ex. jag går i en klass med 20 andra personer och 2 personer ska fylla år på samma dag som mig blir det (20/365)*(19/365)~= 0,28%