Variabelbyte i flera dimensioner

Jag tycks ha problem med variabelbyten och kedjeregeln. Är det någon som skulle kunna förklara lite bättre för mig vore jag tacksam.
Detaljer nedan:

Säg att vi har ekvationen
O''(o)+cot(o)O'(o)+(k-m^2(csc(o))^2)O(o) = 0

Vi ersätter cot och csc med cos och sin:
O''(o) + (cos(o)/sin(o))O'(o)+(k-m^2(1/cos(o))^2)O(o) = 0

Sedan utför vi ett variabelbyte, s = cos(o).
Så
s(o) = cos(o)
o = arccos(s)

Därmed,
O'(o) = O'(o(s))*o'(s)

Men här går allting nedför.
Enligt min uppfattning måste jag ju lösa ut o som en funktion av s, eftersom det är o som står som funktionens variabel. Och så säger kedjeregeln att jag även måste derivera den inre funktionen.
Så det blir något som

O'(o) = O'(o) * -1/(sqrt(1-o^2))

Men detta vet jag att det inte är rätt. Så skulle någon kunna förklara varför det inte är rätt, och vad som är rätt, och varför?
Tack på förhand.

Var försiktig med beteckningarna. Vänsterledet hade möjligen kunnat skrivas O'(s), men bäst (i matematiken) är att definiera en ny funktion Q(s) = O(o(s)).
Q'(s) = O'(o(s)) o'(s)


Q'(s) = O'(o(s)) * (-1)/(sqrt(1-s^2)) snarare.

Hrm. Så om det är rätt, kan någon då förklara hur de har utfört detta variabelbyte?

http://img502.imageshack.us/f/12022011278.jpg/

Om jag använder samma notation som Manne så kallar de både Q(s) och O(o) för theta.

Ofta görs det i mer tillämpade sammanhang, speciellt när det gäller differentialekvationer, men som du har märkt kan det leda till förvirring.