Vektorer - hjälp mig

Sitter här med vektorer, och jag är lost...

Fråga:

Visa att mängden av alla funktioner f av formen

f(x)=A+Bcosx+Ccos2x, A,B,C tillhör reella tal

är ett linjärt rum. Finne n bas för rummet och ange dimensionen. Visa att funktionen g(x)=cos^2(x) tillhör rummet. Angiv komponenterna för g med avseende på basen och den kolonnvektor, som representerar g.


Vad faaaaan menas med en bas? Jag är helt lost Snälla hjälp mig så pedagogiskt som möjligt...
Tack som fan på förhand, har skrivning snart.

Nu har jag inte studerat funktionalanalys än (eller vad för kurs nu detta är), men detta borde vara tämligen enkelt att visa. Visa att skalärprodukten (som blir en integral mellan 2 funktioner för någon övre och undre gräns) är 0, och övriga egenskaper (kan du slå upp). I (2) så kan du utnyttja att cos-kvadratikus(x) = 1/2 + 1/2* cos2x så koordinaterna blir (1/2,0,1/2)^t.

Har du klarat denna bit?


Trivialt. Funktionerna utgörs av alla linjärkombinationer av funktionerna 1, cos x samt cos 2x. En bas är därför { 1, cos x, cos 2x } och rummet är 3-dimensionellt.


Använd formeln för cosinus av dubbla vinkeln, cos 2x = 2 cos^2(x) - 1 för att skriva
g(x) = cos^2(x) = (1 + cos 2x)/2 = (1/2) * 1 + (1/2) * cos 2x,
så g(x) har den form som funktionerna i rummet har, med A = 1/2, B = 0, C = 1/2.
Kolonnvektorn som representerar g(x) i basen är alltså
(1/2)
(0)
(1/2)


En bas är en linjärt oberoende mängd av element vilka spänner upp hela rummet.
Men det där tror jag inte fick dig att förstå då du antagligen inte har lärt dig begreppen linjärt oberoende och spänna upp.
Förhoppningsvis känner du dock till begreppet linjärkombination.
En bas är en mängd av element (vektorer) sådana att varje element i rummet kan skrivas som en linjärkombination av dessa. Samtidigt får inte basen innehålla onödiga element (som kan skrivas som en linjärkombination av övriga element i basen).

Jo, och beroende med. Men inte spänna upp.

Kan du ge ett exempel på en bas?

Det gjorde jag ovan: En bas är därför { 1, cos x, cos 2x }
Rummet ifråga består ju av alla linjärkombinationer av dessa.

Har en till.

Finn alla egenvärden till matriserna:
A=
[1 -1]
[-1 1]

,

B=
[-1 5]
[1 3]
(Ska ju givetvis sitta med en hel klammer..)

Ange också en egenvektor till varje egenvärde.

Egenvärdena lyckades jag räkna ut genom a-lamda och d-lamda, men hur fan anger man egenvektorerna?!

Fler exempel på baser:
Om e1 = [1,0,0]ᵀ, e2 = [0,1,0]ᵀ, e3 = [0,0,1]ᵀ så är {e1,e2,e3} en bas för R³-rummet eftersom alla vektorer i R³ kan skrivas som a·e1 + b·e2 + c·e3.

{1, x, x^2} är en bas för polynom av andra graden eftersom de kan skrivas som a + bx + cx^2.


Du finner egenvektorer genom att lösa Ax - λᵢ*x = 0 för de olika λᵢ (egenvärdena) du räknat fram.

När du har ett egenvärde λ, lös ekvationen (A - λI) u = 0 för att finna u. Observera att du får en oändlig mängd av u.

Jo, jag såg det på wikipedia, men jag fattade inte vad dom menade.. Vadå A, vadå I?


Fått hjälp av läraren nu, men en sak fattar jag inte. Om vi har två matriser, en 2x2 och 2x1 matris som jag vill multiplicera ihop, hur gör jag då?

Du har ju själv kallat matrisen du hade för A, så den borde du ha vetat vad det var.
I är en vanlig notation för enhetsmatrisen.
När du söker egenvärdena löser du ekvationen det(A - λI) = 0 m.a.p. λ; det är alltså samma matris du skall använda, men nu med värden på λ insatta.