Vad menas med nollvektorn?

1. Vad är nollvektorn för något? När har man nytta av den?
2. Vilken riktigning har den? Alla eller ingen?
3. När sätter man saker lika med 0 och varför inte lika med något annat?
4. I boken står det att den inte ska förväxlas med talet 0, vad är det för skillnad isåfall?
5. Har den med detdära O att göra? Man brukar ju ha OP = OQ + QP . Vad är 0? Origo eller något?

Enligt Wikipedia:
En nollvektor är i linjär algebra en vektor bestående endast av nollor, (0,0,...,0). En nollvektor brukar skrivas symboliskt som , 0, eller helt enkelt 0. En nollvektor har ingen riktning och är vinkelrät mot alla andra vektorer med lika många komponenter.

Nollvektorn 0 är en vektor med längden 0 och alla dess komponenter är 0. 0 är ortogonal mot alla vektorer av samma form.
Den används bl.a. i bevis och för att beräkna nollrummet, lösa ekvationssystem som är lika med 0, t.ex. Ax=0. 0 är även ett delrum av R^n.

En vektor består av komponenter t.ex. 0=(0,0,0...,0) och 0 är en skalär.

1. En vektor utan längd. I två dimensioner är den (0,0), i tre dimensioner (0,0,0), i n dimensioner (0,0,...,0). Som sagt är den ortogonal mot alla vektorer, vilket kan vara praktiskt ibland.
2. Eftersom den är ortogonal mot alla vektorer, så skulle man kunna säga att den har alla riktningar. Men det är en lite meningslös fråga, precis som "hur stor är en punkt?".
3. va?? Man sätter saker lika med noll om de är lika med noll, och aldrig annars...
4. Talet noll är en skalär, en siffra, medan nollvektorn är en vektor. Du kan beräkna skalär- och vektorprodukter av nollvektorn med en annan vektor, men med nollan kan du bara göra vanlig multiplikation.
5. O (origo) är centrum i koordinatsystemet. Det är en koordinat med läget (0,0), i tre dimensioner (0,0,0), i n dimensioner (0,0,...,0). Lägesvektorn till en punkt i origo är således lika med nollvektorn, men det betyder inte att O är nollvektorn. O markerar ett läge, medan nollvektorn markerar en storlek (som råkar vara noll) med en riktning (som råkar vara obefintlig).

Att nollvektorn har längden 0 är inte en del av definitionen. Vektorrummet behöver inte ens ha en norm så att längd är ett definierat begrepp. Nollvektorn 0 är den vektor som uppfyller 0 + v = v för alla v i vektorrummet. Att |0| = 0 följer ur triangelolikheten, alltså |0+v| = |v| <= |0| + |v|, alltså |0| = 0, men de måste vektorrummet ha en norm (vilket det inte behöver ha). Att alla komponenter är 0 om man uttrycker den i en bas är inte heller en del av definitionen utan följer snarare av definitionen av bas (eller ja, linjärt oberoende, men det är ju en del av definitionen av bas).

Jag tror att nollvektorn har att göra med gruppegenskaper. Det är väl enhetselementet under addition?

Korrekt. Men det känns litet overkill att tala om grupper för en som knappt vet vad ett linjärt rum är.

Du har en poäng i det.