Talteori PPT

Hur bevisar man att exakt en utav a eller b är delbar med 3 för alla primitiva pythagoreiska tripplar?
Där a och b är naturliga tal som uppfyller den diofantiska ekvationen
a²+b² = c²

Notera även att 1² ≡ 2² ≡ 1 (mod 3) vilket innebär att en kvadrat som inte är delbar med 3 alltid har resten 1 vid division med 3.

Vi tar nu och använder oss av en motsägelse.
Antag att vare sig a eller b är delbar med 3 och att det gäller att a² + b² = c². Det innebär att a² + b² ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3), men det kan inte gälla att c² ≡ 2 (mod 3) så därför gäller inte heller a² + b² = c² och vi har en motsägelse. Så åtminstone en av a eller b måste vara delbar med 3.

Att båda inte kan vara delbar med 3 följer direkt ur att de är primitiva tripplar. Dvs gcd(a, b) = 1 och alltså följer det att exakt en av a eller b måste vara delbar med 3.

Det var nog där det sprack för mig. För jag såg två fall framför mig, där de antingen är kongruenta med 1 eller 2 mod 3 om de tre inte är en delare. Men detta kan man då härleda ur fermats lilla sats exempelvis? Eller går det?

Tex då att: (överdriven pedagogik)

2² ≡ 2²⁺¹⁻¹ ≡ 2¹⁻¹ ≡ 2⁰ ≡ 1 (mod 3)

Vill verkligen göra det 100% klart för mig.

Varför kan inte c-kvadrat vara kongruent med 2 mod 3? För att ett kvadrattal modulo tre bara kan vara kongruent med 1 eller 0 mod 3? För att om det är delbart med 3 så är det ju kongruent med 0, och om det inte är delbart med 3 så är det kongruent med 1, just för att det är ett kvadrattal?

Perfekt!

Yes, gött!

Tack för hjälpen! Du eller någon annan kan säkert svara på frågorna jag har ovan.

Mvh Tusen tack.

Du behöver ju inte lägga till och dra ifrån 1, fermat säger väl direkt att a^(p-1)=1 (mod p) och med p=3, a=2 fås 2^2=1 mod 3.

Men enklast är att räkna:
2^2=4=3+1=1 mod 3

ja

Det var bara för att exemplifiera. Jag vet att det inte behövs.

Ja såklart!
lite lol av mig


Godis!