Hjälp med andra ordningens differentialekvation [MaE]

Jag behöver hjälp med en uppgift jag hade på slutprovet, men inte lyckades lösa. Det fanns alltså inget facit som pedagogiskt stöd, så förklara gärna HUR man löser den.

Bestäm konstanten a så att y = e^(-ax²) är en lösning till differentialekvationen y''+xy'+y = 0

Du har y. Derivera och erhåll y', därefter y''. Stoppa in funktionerna i ekvationen y''+xy'+y = 0 och lös för a.

Eftersom du vet vad y är så borde du kunna beräkna y' och y'' förutsatt att du vet hur man deriverar. Tänk bara på att för att beräkna y'' måste du använda produktregeln för derivering. Detta kommer ge dig:
y' = -2axe^(-ax^2) och y'' = e^(-ax^2)(4a^2*x^2 - 2a).
Du sätter sedan in uttrycken för y, y' och y'' i:
y'' + xy' + y = 0, bryter ut e^(-ax^2) från alla termer i vänsterledet och får en ekvation på formen:
e^(-ax^2) * f(x) = 0 där f(x) är ett andragradspolynom. Genom att hitta rötterna till f(x) har du löst problemet.
f(x) ska bli (4a^2 - 2a)*x^2 + 1 - 2a

Jag har aldrig löst sådana här innan så har absolut ingen aning om det är rätt. Jag har aldrig lärt mig det, men sett en hel del här på flashback så detta kanske är rätt. Jag vet hur man deriverar i alla fall så jag hoppas att jag kan lösa den såhär.

Differentialekvationen:

y''+xy'+y = 0

Vi vet att:

y = e^(-ax²)

Då är:

y' = -2ax·e^(-ax²)

Deriverar igen:

y' = -2ax·e^(-ax²)
y'' = -2a·e^(-ax²)-2ax·(-2ax)·e^(-ax²)
y'' = -2a·e^(-ax²)+4a²x²·e^(-ax²)
y'' = e^(-ax²)(4a²x²-2a)

Differentialekvationen:

y''+xy'+y = 0
e^(-ax²)(4a²x²-2a)-x2ax·e^(-ax²)+e^(-ax²) = 0
e^(-ax²)(4a²x²-2a)-2ax²·e^(-ax²)+e^(-ax²) = 0
e^(-ax²)(4a²x²-2a-2ax²+1) = 0

Enligt nollprodukt så måste e^(-ax²) vara noll, eller den andra faktorn vara noll för att allt skall vara i likhet med noll. e^(-ax²) kan aldrig bli noll, inte för något a eller x. Då behöver vi bara undersöka polynomet som är vår andra faktor.

Undersöker nollställen:

4a²x²-2a-2ax²+1 = 0
2a(2ax²-1-x²+1) = 0
2a(2ax²-x²) = 0
2ax²(2a-1) = 0

Nollprodukt igen, ena eller andra måste vara noll, för att det skall vara i likhet med noll:

(2a-1) = 0
2a = 1
a = 1/2

eller

2ax² = 0
x² = 0
x = 0

Det sistnämnda ger oss ingen information om värdet på a för att erhålla en lösning. Vilket betyder att a = 1/2 för att det skall vara en lösning till vår differentialekvation.

Tack allihopa, ni hjälpte mig verkligen

Det är bra nu. Tack allihopa