2011-01-10, 23:41
#1
Var några år sedan jag läste matstat men hjälper min flickvän inför hennes tenta. Det är en ganska lång uppgift men jag har redan hittat svaret på a-uppgiften och behöver alltså hjälp med b:
"Suppose that f(x,t) is the probability of getting x successes during a time interval of length t when (i) the probability of a success during a very small time interval from t to t+Δt is α*Δt, (ii) the probability of more than one success during a time interval is negligible, and (iii) the probability of a success during such a time interval does not depend on what happened prior to time t.
a, Show that under these conditions
f(x,t+Δt) = f(x,t)[1-α*Δt]+f(x-1,t)α*Δt (1)
and hence that d/dt [f(x,t] = α[f(x-1,t)-f(x,t)] (2)
b, Show by direct substitution that a solution of this infinite system of difference equations (there is one for each value of x) is given by the Poisson distrubtion with λ=α*t.
a löses enkelt genom att inse att sannolikheten att ha x lyckade utfall i tidsintervallet t+Δt är summan av sannolikheterna att man har x lyckades utfall i t samtidigt som man inte har lyckat utfall i intervallet delta t (som beskrivs med 1-α*Δt) ELLER att man har x-1 lyckade utfall i intervallet t samtidigt som man har ett lyckat utfall i intervallet delta t. Ekvation 2 fås genom att beräkna [f(x,t+Δt) - f(x,t)] / Δt där första termen i täljaren ges av (1).
Som sagt, behöver hjälp med b, där jag tyvärr inte ens vet hur jag ska börja.
"Suppose that f(x,t) is the probability of getting x successes during a time interval of length t when (i) the probability of a success during a very small time interval from t to t+Δt is α*Δt, (ii) the probability of more than one success during a time interval is negligible, and (iii) the probability of a success during such a time interval does not depend on what happened prior to time t.
a, Show that under these conditions
f(x,t+Δt) = f(x,t)[1-α*Δt]+f(x-1,t)α*Δt (1)
and hence that d/dt [f(x,t] = α[f(x-1,t)-f(x,t)] (2)
b, Show by direct substitution that a solution of this infinite system of difference equations (there is one for each value of x) is given by the Poisson distrubtion with λ=α*t.
a löses enkelt genom att inse att sannolikheten att ha x lyckade utfall i tidsintervallet t+Δt är summan av sannolikheterna att man har x lyckades utfall i t samtidigt som man inte har lyckat utfall i intervallet delta t (som beskrivs med 1-α*Δt) ELLER att man har x-1 lyckade utfall i intervallet t samtidigt som man har ett lyckat utfall i intervallet delta t. Ekvation 2 fås genom att beräkna [f(x,t+Δt) - f(x,t)] / Δt där första termen i täljaren ges av (1).
Som sagt, behöver hjälp med b, där jag tyvärr inte ens vet hur jag ska börja.
