Citat:
Ursprungligen postat av Braau
Tänk dig att du är på semester och har hyrt en bil. Du är i staden A med full tank och ska åka 80 mil till staden B där bilen ska lämnas med full tank. Bilen drar 1,0 liter/mil och har en tank som rymmer 80 liter. Antag vidare att priset är 8 kr/liter i A men kostar hela 12 kr/liter i B samt att priset ökar beroende på hur långt du är från A. Vi antar att du fyller tanken en gång på väg till B och en gång när du är framme i B. Var på vägen skall du fylla tanken för att minimera bensinkostnaden?
Priset kan öka linjärt eller kvadratiskt.
Behöver i första hand hjälp med hur man gör för att få fram prisfunktionen när priset stiger kvadratiskt.
Mycket tacksam för svar snarast då jag ska redovisa imorn hehe
För att lösa uppgiften så tänker jag skapa en
funktion av bensinpriset per liter som beror på avståndet ifrån A.
Vi börjar med det linjära exemplet:P(x) = kx+m
Villkor:P(0) = 8
P(80) = 12
Eftersom priset var 8kr/liter när avståndet från A är noll (alltså när x är noll). Och priset var 12kr/liter när vi har åkt 80 mil, alltså framme i B.
Börjar med P(0):8 = k*0+m
m = 8
Eftersom funktionen är likadan överallt så gäller ju m-värdet överallt också
Nu med P(80):12 = 80k+8
4 = 80k
1/20 = k
Nu har vi alltså allt som behövs för att kunna beskriva den linjära funktionen som beskriver priset per liter som beror på avståndet från stad A.
Den linjära funktionen P(x) är:P(x) = x/20+8
Då börjar vi med den kvadratiska funktionen, som skall beskriva hur priset per liter varierar beroende på avståndet ifrån A.
Allmän kvadratisk funktion:Q(x) = ax²+bx+c
Villkor:Q(0) = 8
Q(80) = 12
Vi vet också att priset hela tiden ökar när x ökar, vilket betyder att Q'(x) skall vara större än noll för alla x mellan 0 och 80.
Villkor:Q(0) = 8
Q(80) = 12
Q'(x) ≥ 0, 0≤x≤80
Deriverar:Q'(x) = 2ax+b
Q'(0) = 2a·0+b ≥ 0
b ≥ 0
Vilket betyder att vi kan välja b som noll och ändå uppfylla alla villkor som krävs. Det finns såklart fler lösningar, då vi kan välja ett annat b, men då blir också a annorlunda. Det finns helt enkelt oändligt många lösningar, men detta är i alla fall en. Och det räcker ju för att lösa uppgiften.
Använder nu villkoret Q(0):a·0²+c
c = 8
Använder nu villkoret Q(80):a·80²+8 = 12
a = 1/1600
Vi har nu all information för får kvadratiska funktion.
Vi beskriver då Q(x):b = 0
c = 8
a = 1/1600, om b = 0
Då är:
Q(x) = x²/1600+8
Våra P(x) och Q(x) beskriver "kr/liter", vi vill dock ha ett värde på x. Alltså hur långt ifrån A vi skall vara, för att "kr" skall bli så litet som möjligt om vi tankar fullt. Vi måste då också ha en funktion som beskriver hur mycket bensin vi hela tiden kan fylla på, för att veta hur mycket det kostar att fylla på. Denna funktionen skall också bero av avståndet till A.
F(x) kallar jag den funktionen, som beskriver hur mycket bensin vi kan fylla på till fullt i liter, beroende på hur långt vi har åkt.
Den är linjär och ser ut såhär:F(x) = x
Motivering: Vi minskar 1 liter per mil, så varje mil kan vi tanka en ny liter, därav F(x) = x. Dessutom så har funktionen inget m-värde, eftersom vi är fulltankade ifrån början, då kan vi ju inte tanka något mer.
Funktionerna Q och P beskriver kronor/liter. Men vi vill ha en funktion som beskriver bara hur mycket det kostar att fylla tanken. Alltså Q(x)·F(x) eller P(x)·F(x), eftersom (kronor/liter)·liter = kronor.
Kostnaden att fylla tanken beroende på avståndet till A är då:K(x) = x³/1600+8x
eller
C(x) = x²/20+8x
För den kvadratiska respektive linjära bensinprisfunktionen per liter.
Vi skall fylla vår tank två gånger under resan, en gång när x = 80, och en annan gång emellan 0 och 80. Detta ger då en viss kostnad.
Vi kan beskriva detta som:S(x) = K(x)+12·F(80-x)
eller
S(x) = C(x)+12·F(80-x)
för den kvadratiska respektive linjära bensinpris per liter funktionen.
Vi skall fylla på tanken till fullt någon gång, alltså vid något x. Sedan skall vi åka resten av biten, alltså 80-x och fylla på till kostnaden av 12kr/liter, eftersom det kostade 12kr/liter framme i stad B. Vi måste ju tanka fullt där också. S(x) kallar jag då det slutgiltliga priset alltså.
Nu måste vi derivera dessa funktioner och finna en minimipunkt, där är det alltså som bäst att tanka! Om vi vill ha ett så minimalt pris som möjligt.
Deriverar den kvadratiska S(x):S(x) = K(x)+12·F(80-x)
S(x) = x³/1600+8x+12(80-x)
S'(x) = 3x²/1600+8-12
S'(x) = 3x²/1600-4
Ansätter i likhet med noll för att finna extrempunkt:3x²/1600-4 = 0
3x² = 6400
x² = 6400/3
x = 80/√3 ≈ 46.19
Det finns bara en positiv extrempunkt och det måste vara en minimipunkt, eftersom jag vet att derivatan av kr/liter funktionen skulle vara positiv emellan 0 och 80, det är ju ett villkor. Samt att vi alltid har positiva liter, då måste också funktionen som bara beskriver priset ha en minimipunkt för något x emellan 0 och 80. Annars kan man kolla med ett teckenstudium eller andraderivatan.
Deriverar den linjära S(x):S(x) = C(x)+12·F(80-x)
S(x) = x²/20+8x+12(80-x)
S'(x) = x/10-4
Ansätter i likhet med noll:x/10 = 4
x = 40
Slutsats:
När vi nyttjar den kvadratiska funktionen så är det bäst att åka 80/√3 mil innan man tankar fullt. När vi nyttjar den linjära funktionen så är det bäst att åka exakt 40 mil innan man tankar fullt för att få ett så lågt pris som möjligt.
Svar: 80/√3 mil för den kvadratiska prisökningen av bensinpriset per liter eller 40 mil för den linjära.
