integrerande faktorn

Hej!
jag kommer inte ihåg hur min lärare bevisade lösningen för den homogena linjära diffekvationen av första ordning. Jag vet att den integrerande faktorn är e^(F(x)). frågan är alltså hur man kommer fram till det, tack!

Differentialekvation: y'(x) + f(x) y(x) = 0

Notera att D[e^(F(x)) y(x)] = e^(F(x)) y'(x) + e^(F(x)) F'(x) y(x) = e^(F(x)) (y'(x) + F'(x) y(x))

Vi ser att parentesen blir samma som differentialekvationens vänsterled om F'(x) = f(x), dvs om F är en primitiv funktion till f.

min lärare visadei föreläsningen hur man kan komma fram till det utan att prova det. jag har tappat anteckningsboken

Vi vill att

G(x)(y' + fy) = d/dx (G(x)y.

Utför man deriveringen i högerledet får man G'(x)y + G(x)y'. Vi har alltså att

G(x)y' + G(x)fy = G'(x)y + G(x)y'

så det måste gälla att

G'(x)y = G(x)fy <=> G'(x) = G(x)f

som är en separabel differentialekvation

G'/G = f

och integrering av båda leden ger som vanligt att

ln G = F <=> G(x) = e^F(x)