Skärning kurva/punkt

Ok, jag känner att jag "nästan" löst den här uppgiften. Får bara inte till det sista.

Jag ska hitta minsta avståndet från kurvan:

y = x^(1/2) och punkten (4,0)

Skulle man ha en linje skulle saken vara enklare, men nu har jga bara en punkt. Så frågan är om man kan göra en linje på något sätt. Den obekanta punkten är ju just där som kurvan och linjen skär varandra... någon?

Avståndet mellan kurvan i punkten (x,y) och punkten (4,0) kan du få ut genom Pythagoras-sats. Ta sedan ut minimum.

Jo men hur tar man ut "minimum"? Kan väl knappast sitta och testa mig fram :P

Varje punkt på kurvan kan skrivas (x,x^(1/2)). Avståndet mellan punkterna a = (x1,y1), b = (x2,y2) ges av:

d = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)

Så i detta fallet är ju en generell punkt (x,x^(1/2)) den andra (4,0). Så avståndet är:

d = sqrt((x - 4)^2 + (0 - x^(1/2))^2)
d = sqrt((x - 4)^2 + x)

Hitta minsta avståndet nu för d. Minsta avståndet är ju när (x - 4)^2 + x är så litet som möjligt.

Kollar vart derivatan är noll samt randpunkter(x=0).

Kan någon ta hela uppgiften? Jag förstår inte riktigt de tidigare svaren.

Avståndet i termer av x har dxdp gett dig. Hängde du med på det?

I alla fall, avståndet d är alltså

d = d(x) = sqrt((x - 4)^2 + x)

Nu ska vi derivera d(x) och sätta dess derivata lika med 0 för att hitta extrempunkter. Vi vill ha det kortaste avståndet, dvs en minimipunkt på d(x). Vi kan direkt plocka bort rottecknet och genast blir derivatan enklare.

d'(x) = 2(x-4) + 1 = 2x - 8 + 1 = 2x - 7
d'(x) = 0; 2x - 7 = 0; x = 7/2

Om x = 7/2 på kurvan y = x^(1/2), vad är då y (och vad blir då avståndet)?