Lite mer advancerat gränsvärde

Som ett delsteg i en uppgift jag har fått så har jag kommit fram till att jag vill beräkna gränsvärdet av följden (som står här under) då n går mot oändligheten.

((1+2^(1/n))/2)^n

Har provat en del knep men inte funnit svaret. Tack på förhand!

Edit: Jag vet att svaret ska vara roten ur 2, så det intressanta är stegen dit!

En idé kanske är att ta logaritmen. Logaritmen är ju kontinuerlig, så, gränsvärdet av logaritmen är logaritmen av gränsvärdet. Då blir det

n*ln((1+2^(1/n) / 2))

och då n går mot oo går n mot oo () och 1/n går mot 0, så 2^(1/n) går mot 2^0 = 1, så att (1+2^(1/n)/2 går mot (1+1)/2 = 1, dvs logaritmen går mot 0. Vi har alltså oo*0, så vi skriver
ln(1+2^(1/n)/2) / (1/n) som är 0/0. L'Hopital på det så borde ln(2) trilla ut någonstans...

sp3tts metod är rimlig. Om man inte vill använda l'Hôpital (som sp3tt för övrigt nog har slarvat med lite...) kan man lösa gränsvärdet på detta vis.
n·ln[(1+2^(1/n))/2] = n·ln[1 + (2^(1/n)-1)/2] = n·[(2^(1/n)-1)/2 + O(1/n²)] = n(2^(1/n)-1)/2 + O(1/n) = n(exp(ln2/n)-1)/2 + O(1/n) = {ln2/n = t} = (ln2/2)·(exp(t)-1)/t + O(t) → ln2/2, t→0, det vill säga då n→∞.
Då måste det ursprungliga gränsvärdet för serien vara exp(ln2/2) = √2.

Slarvat? Jag orkade inte derivera, så jag lämnade det som övning åt läsaren.

Hmm funderade lite mer själv och kom fram till följande bevis:

Utveckla 2^(1/n) i laurentserie i oändligheten. Vi får 1+Log[2]/n+O(1/n^2)

Alltså har vi då n går mot oändligheten ((1+2^(1/n))/2)^n=((1+1+Log[2]/n)/2)^n=(1+Log[2]/(2n))^n=e^(Log[2]/2)=sqrt(2)

Låter inte det bra?

Tycker FÖ attera bevis också var vackra, hade inte tänkt på den metoden,, mycket fyndigt.

Det där tycker jag är för likt definitionen av e för att man inte använda den. Skriv gränsvärdet som:

(1+(2^(1/n)-1)/2)^n=(1+(2^(1/n)-1)/2)^(2/(2^(1/n)-1))^(n*(2^(1/n)-1)/2)

eftersom vi har x=(2^(1/n)-1)/2 -> 0 då n->inf, har vi
(1+(2^(1/n)-1)/2)^(2/(2^(1/n)-1))=(1+x)^(1/x)-> e
per definition av e. Vidare har vi
(n*(2^(1/n)-1)/2)=(ln2/2)(e^(ln2/n)-1)/(ln2/n)) -> ln2/2 av standardgränsvärdet (e^x-1)/x->1, x->0.

Således blir gränsvärdet e^(ln2/2)=sqrt(2)

(Inspirerat från Kurrets härledning.)

Sats: Om a(n) → A, så gäller (1 + a(n)/n)^n → e^A.
Bevis: Överlämnas åt läsaren.

Nu skriver vi ((1+2^(1/n))/2)^n = (1 + a(n)/n)^n, där a(n) = n (2^(1/n) - 1)/2.

Här gäller a(n) = n (2^(1/n) - 1)/2 = n (e^((ln 2)/n) - 1)/2 = n (1 + (ln 2)/n + O(1/n²) - 1)/2
= (ln 2)/2 + O(1/n) → (ln 2)/2.

Enligt satsen ovan gäller därmed ((1+2^(1/n))/2)^n → e^((ln 2)/2) = √2.