Beräkna arean av n-hörningar exakt utan att använda trigonometri.

Apathy: Det du använder som definition på "exakt" ovan brukar de flesta kalla något helt annat, exempelvis "på sluten form". Definitionen om dbshw anger är den vanliga. Om du exempelvis får uppgiften att beräkna en integral "exakt" i en matematikkurs förväntas ett svar enligt dbshws definition och inte en transcendent funktion.

Så du menar att ett svar på formen:

(sqrt(7)+sqrt(5)+sqrt(3)+sqrt(2))/(pi+sqrt(2)+sqrt(13))

Inte är exakt?


jag skulle kunna dundra in 4000 termer i vardera nämnare o täljare och det skulle fortfarande vara exakt. (Sålänge det är förkortat så långt det går)

Det har jag inte påstått. Jag syftade på: "Begreppet "exakt" handlar ju bara om du kan skriva ett tal som en konvergerande serie". Givetvis konvergerar ex. sin(x) (och dess serieutveckling) för alla x men det betyder inte att sin(x) är ett exakt svar.

Du missade tillägget (med konvergerande menar jag ett ändligt antal termer)

det är precis det sin(x) är, en serie av termer innehållande linjär, kvadratisk, kubisk, osv osv. termer.


sin(x) = 1-(x^3/6)+(x^5/120)-...

denna serie konvergerar mot (1/2) för x= 30 grader, det är dock fortfarande en oändlig serie, OCH ett exakt svar.

Agree? ELler ska vi börja tjaffsa om det också?

Okej.


Man förstår inte av vad du menar. Vilken definition av "exakt" använder du här? Antagligen inte samma som den du använde i ett tidigare inlägg:


?

Hursomhelst kan jag inte se alls hur det är uppenbart att 5-hörningens area är exakt och inte 7-hörningens, oavsett vilken definition man väljer.



Du menar att vi skriver ett approximativt svar? I vilken värld kan ett approximativt svar vara exakt?


Va?


Men om du trunkerar serieutvecklingar så får du ju inte rätt svar längre? Vad tusan har datorers approximerande beräkningar med frågan att göra?

Hursomhelst, vad är det du vill säga med ditt inlägg? Vilken del av mitt inlägg svarar du på? Eller svarar du på något annat? Och vad fan har det du skrev med frågan (som vi enats om) att göra?

Det jag försöker säga är:

Bara en idiot fattar inte att 5 hörningen går att skriva EXAKT (dvs. som en ändlig kvot av rötter och tal), samma idiot fattar inte att 7-hörningen är omöjlig att skriva exakt. (PUNKT)
Om det på något sätt visat sig att jag hävadat 5-hörningens möjlighet vara osann så är det tryckfel.

Jag ger förslag på hur man kan svara "exakt" på även 7-hörningen, genom att kasta högre ordningens termer och därmed få fram ett svar som är mer "exakt" (I din (och TS) mening) än ett numeriskt närmevärde.

Du VILL återigen hitta fel i en fullkomligt förklarande text som var ett försök att göra ett vettigt inlägg i tråden, som dessutom är fullkomligt korrekt.
Men naturligtvis ska du börja fitta dig första bästa tillfälle som ges.


En dator räknar inte approximativt, den räknar precis så du säger till den. Exvis får en dator svaret 1/2 på frågan sin(30) som är PRECIS lika oändlig (men konvergent mot ett utskrivbart tal) som sin(27,2).

sin(30) är alltså 1/2 inte ungefär 0,5.

Somsagt hoppas jag att du bara sitter och trollar.

Den definitionen av exakt jag använder är följande:

Ett uttryck A, är ett exakt uttryck för arean av en regelbunden n-hörning med sidlängd 1, för n fixt, om följande två villkor är uppfyllda:

a) A ger arean på n-hörningen ifråga, samt
b) A involverar bara symbolerna +, -, *, /, (, ) samt √.

Jag antar att det är det är denna du använder i citerade stycket ovan. Om inte, får jag be dig att tala om för oss vilken definition du använder.

I så fall, så kan jag verkligen inte se hur det är "uppenbart" att tan(π/7) inte kan skrivas exakt (med definitionen ovan), och hur bara idioter kan tro att det inte är så. Jag har gett ett bevis för att det är så, men det beviset använder teorin för ändliga kroppsutvidgningar. Det är knappast så att man är en idiot om man inte förstår dessa. Alltså, om du tycker att det verkligen är uppenbart att tan(π/7) inte är exakt, så får du presentera ett enklare bevis, som en idiot skulle förstå.


Va? Du menar att t.ex. att vi serieutvecklingen för tangens, t.ex.

tan(π/7) = π/7 + (π/7)³/3 + ...

och sen säga att arean

7/(4(π/7) + 4(π/7)³/3)

ger ett "exakt" svar för arean av en 7-hörning? Problemet är ju att det inte stämmer, ty uttrycket ovan är bara ett närmevärde till den verkligen arean. Du kan ju inte säga att arean är "ungefär" 7/(4(π/7) + 4(π/7)³/3); det är den verkliga arean som efterfrågas. Ditt uttryck uppfyller alltså inte villkor a) för exakta uttrycka ovan.

Och hursomhelst spelar det ingen roll, eftersom vi ju har enats om att vi inte ska använda trigonometriska funktioner? Att serieutveckla tangens är ju att i allra högsta grad att använda trigonometriska funktioner, så även om din lösning gav rätt svar så skulle den inte vara en sådan lösning som TS söker.

Eller missförtår jag dig?


Men vad menar du att en dator får om du ber den räkna ut tan(π/7)?

Herregud.

Nu avslutar vi tråden:


Svaret på TS fråga är:

ALLA n sådana att 360/(2n) INTE ger exakta uttryck på sin OCH cos (dvs. tan) går inte arean av en regelbunden n-hörning att ange. OAVSETT metod.

Svaret på din fråga är:

Skriver du ett datorprogram som hanterar serier (tex. wolfram alpha) så kommer datorn svara exakt i de fallen serieutvecklingen konvergerar mot ett exakt värde.

Jag ANTOG att du förstod vad jag menade med att använda sinus o cos vid lösningen av n-hörningar, något som visade sig vara ett helfel antagande. Somsagt, gör enligt ovan och du kommer komma till precis samma slutsats.

Det roliga är dock, att du, precis som jag, insett att 7-hörningen inte fungerar, men du har inte vidareutvecklat detta till att behandla ALLA n-hörningar.

Mitt bevis för detta är såpass enkelt att du själv bör klara utav det, och ifråga HUR man kan avgöra om en trigonometrisk funktion konvergerar mot ett exakt värde använder man sig förslagsvis av de klassiska trianglarna, nämligen 1,1,rot(2) respektive 1,1,1 (likbent) för att sedan mha. pythagoras härleda ALLA vinklar som ger exakta trigfunktioner.

TS efterfrågade, precis som du, kvotsvar på även 7-hörningar, och det enda sättet att uppnå detta är att approximera svaret med x antal termer i serieutvecklingen för tangens. (Eftersom serien i fråga inte konvergerar)

Det är trivialt att inse att man får samma svar, oavsett metod, och om du vill fördjupa dig i ämnet, gör som jag föreslår:

n-hörning i enhetscirkeln, använd trig funk. och kom till slutsatsen att då n är sådant att 360/(2n) ger resultat där tangens serien inte konvergerar mot ett exakt värde (Dvs. ändligt antal tal i kvot) icke går att svara exakt på, och då naturligtvis OAVSETT lösningsmetod.

Bäst jag inför ett begrepp innan jag svarar triggg*: triggg* innebär nästan samma sak som trigonometri, det innefattar i alla fall sinus, cosinus, tangents, cotangents etc dock så är pythagoras och likformighet inte innefattad i triggg*

Jag skrev ju i mitt öppningsinlägg att 7-hörningen troligtvis inte gick att lösa (om man inte använder triggg*).

Som jag sa någon påpeka lite högre upp, om trigonometri handlade om förhållande mellan en triangels vinkel och kvoten av två sidor - varför är då pythagoras trigonometri? När man beräknar med pythagoras så använder i alla fall inte jag någon kvot mellan den triangelns sidor.

Ap4thy: Hela svårigheten i detta problem ligger i att göra det som dbshw har gjort. Att bara skriva ned ett uttryck för arean i termer av trigonometriska funktioner och säga att arean är exakt när detta uttryck blir exakt är ingenting. NÄR ger dessa trigonometriska funktioner ett exakt uttryck är den intressanta frågan och som dbshw säger är det förknippat med klassisk geometri, alltså konstruktioner med passare och ograderad linjal.

evolute har redan sagt det viktigaste, men utöver det tror jag du missförstår din egen metod.

Du säger att "konvergera" betyder att serien bara har ett ändligt antal termer. Inte den allmänt vedertagna definitionen, men fine. Då är det, som du säger, så att tangens-serien för 7-hörningen inte konvergerar. Men faktum är att tangensserien i så fall inte konvergerar för något nollskild vinkel, och enligt ditt resonemang (citerat ovan) så går det inte att ge kvotsvar på 5-hörningen, 3-hörningen, eller för den del kvadraten. Vilket är absurt. Alltså är det något fel på ditt resonemang, och du har inte bevisat att det inte går att ge "kvotsvar" för 7-hörningen.

Cosinus och sinus med deras respektive taylorserie konvergerar mot ett EXAKT svar för alla (1/2, sqrt(3)/2)...) och för dessa värden på 360/(2n) eller 2pi/2n = pi/n går det att skriva en n-hörningsarea exakt.

BEVIS: Det går inte att skriva arean exakt mha. EN metod som fungerar, då går det inte att skriva den exakt med NÅGON metod.

(Rimligtvis bör samma exakta svar uppträda, oavsett metod)

Anledningen varför jag väljer att använda enhets-n-hörningar som bevismetod är för att den är MYCKET enkel, dvs. tom. en person med matte A kunskaper kan förstå den.


Evolute; bara för att inte kan tänka dig en n-hörning som växer inuti en enhetscirkel och själv komma fram till areauttrycket (som funktion av n) som är mycket lättare än hans metod, där han BARA bevisar att det stämmer för just sjuhörningen betyder inte att han har rätt.

Nej, du är ju fan dum i huvudet; jag säger att taylorserien(för sinus o cosinus) har ett exakt svar, PRECIS DÅ SERIEN KONVERGERAR MOT EN KVOT AV ÄNDLIGA TAL, något som INTE gäller för sin,cos(27,52) TEX.

Taylorserien för sinus(30) konvergerar mot det exakta talet 1/2, medan taylorserien för sin(27,5) inte konvergerar alls.


Beviset för mina påståenden är:


Rita en enhetscirkel med origo i mitten, dela varvet i n delar (prova upp till sju om du vill, det räcker emellertid med 2 och 3 för att få en allmän formel) denna formeln är GILTIG för ALLA n. bara genom att studera utseendet på formeln så ser man omedelbart att exakta svar fås då, och endast då, sinus och cosinus konvergerar.

Försök detta, annars kan jag ladda om bilder, text, och dyl. så att tom. ni förstår.


En series konvergens är väl KNAPPST det svåra i sammanhanget? Lol.



Edit: God jul, jag lade upp hela skiten, förhoppningsvis framgår det GLASKLART nu.

http://img207.imageshack.us/content_...pg&via=mupload

Observera att för ett givet n så kan summatecknet tas bort och ersättas av ett n istället, eftersom sinus är 2pi periodisk, alltså är summatecknet inte nödvändigt. (Och det blir MYCKET lätt att se hurvida det går att skriva arean exakt eller ej)

Och oavsett vilken metod du använder kommer ge PRECIS samma resultat - stämmer det för en metod stämmer det för alla. Och tråden är besvarad för alla n.

EDIT2: gränsvärdet för summan vid n->inf = pi varav Atot då blir r^2pi (arean för en cirkel)

http://www.numberempire.com/limitcalculator.php

Enklare kan det nog fan inte bli...