Lös diff. ekv.

xy'+(x+1)y=e^(-x) , x>0.

Hur gör jag? Kan någon bara göra uträkningen? jag har den på en gammal tenta men det finns ej något svar till den.

lös ut y på ena sidan och sedan integrera bara

nu vet inte jag i vilken kurs eller nivå frågan är given.

Standard är dock ALLTID i diffekv. att skriva om ekvationen på en känd form, i detta fall:

Dividera med x på bägge sidor, ekvationen ser nu ut:

y'+f(x)y=R(x)

som standardlösning bör stå i formelsamling. Annars är lösningen integredande faktor, i detta fall

IF = e^int(f(x)dx)

multi bägge led med IF och derivera, så kommer du se en uppenbar kedjeregel, varvid du integrerar och löser ut y. Försök själv, fungerar det ej så kan jag ge dig lösn.

NOTERA, så fort en diffekv. är given med ett intervall på x, i detta fall x>0 så ska du ALLTID dividera med x innan du ens börjar.

som förtydligande;

Låt y'+f(x)y=R(x) vara en given diff.ekv.

betrakta nu funktionen f(x):

tag: e^(integralen(f(x)dx) =e^(F(x)). (IF)

Multiplicera bägge led med denna, IF, i D.En och få:

(y'+f(x)y)e^(F(x))=R(x)*e^(F(x))

titta på VL!! Det är derivatan av y*e^(F(x)) ty:

d/dx(y*e^(F(x))) = y'e^F(x)+f(x)e^F(x)y vilket är precis VL.

Alltså:

d/dx(y*e^F(x))=R(x)*e^F(x) (Separabel av FÖRSTA ordningen) alltså:

y=e^-F(x)*int(R(x)*e^(F(x))dx)

Ok jag får det till att f(x)=(x+1)/x och F(x)=e^(x+ln(x)) och R(x)=(e^-x)/x så:

y'e^(x+lnx)=((e^-x)/x)*e^(x+lnx)

jag kan följa resonemanget så tack för det. Sen kommer problemet att få ut
Int[((e^-x)/x)*e^(x+lnx)]dx

ser bra ut. Nu är det bara algebra kvar. Observera att 1/x = x^-1 och att x=e^lnx varför:

e^-x/x = e^-x*e^-lnx och logaritmlagarna ger att högerledet helt enkelt är e^0 ty:

x+lnx - x-lnx=0 och e^0=1.

Du har alltså att y= (x+c)/e^F(x)

där F(x)=(x+lnx) och e^F(x) = e^x *e^lnx = xe^x och svaret blir:

y=(x^2+cx)e^-x är den allmäna lösningen.

Vill du vara säker på din lösning kan du alltid derivera, stoppa in och se att det stämmer.

Ahhh ja fattar... Enkla lösningar men jag tvivlar på att jag hade tänkt på x=e^lnx och vad det kunde leda till vid en tenta vilket stör mig... Måste ta för vana att alltid försöka förenkla så mycket som möjligt innan jag ger mig på en sån sak antar jag.

Tack så hemskt mycket för hjälpen!

Övning ger färdighet. Det du bör ta som vana är att det ALLTID går att skriva om saker, bara prova allt du kan, loglagar, lägga till 0, multiplicera med 1 osv.

Jag håller med om att denna var ovanligt störig, men diffekvationer vore extremt lätta om det inte fanns sådana här saker med... jag menar, det står ju liksom i formelsamlignen hur man skall göra.

Vanligtvis får du kanske inte full pott om du inte hittar såna fina omskrivningar, det viktiga är ändå att du fattat problemet.

Vänta tills du stöter på Laplace transformer, då kan vi snacka om att jävlas med algebra...

Usch å fy, kommer det in i flervariabeln eller när brukar man ta upp det?

inte i flervariabeln.. kommer i tex linjär analysen.

Förresten, här kommer en till. Har jag gjort rätt?

y'=y^2(1+x^2) hitta alla lösningar till denna. Hur ska jag börja?

Skriv y' som dy/dx ger

dy/dx = y^2(1 + x^2), omstuvning ger

dy/y^2 = (1 + x^2) dx

Integrera var led för sig och lös ut y sen.