Stokes sats

Behöver hjälp med att identifiera parametrarna i b) delen av uppgiften nedan. Vilka koordinater och normal ska man välja? Och varför pratar man om planet x+z=1 när detta bara är en linje som skär sfären i endast två punkter. Alltså x+z=1 gör hål i sfären vid x=1 och vid z=1. Jag identifierar ingen skärningskurva här.
http://i51.tinypic.com/2ahfrdt.png

x+z=1 är inte en linje, det är ett plan. x^2+y^2+z^2 = 1 är en sfär, och planet skär alltså av en del av sfären. Kurvan som söks är alltså skärningen mellan planet och sfären, alltså randen på sfären som finns i planet. Gör ett variabelbyte till sfäriska koordinater så blir det nog enklare att uttrycka kurvan.

Ja fruktade detta. Du ser, i Wolfram MathWorld beskrvis ekvationen som e linje. hur ser planet ut då? Och med vilken ekvation beskrivvs linjen som jag beskrev ovan?

I R^2 är det en linje, i R^3 är det ett plan.


Tag linjen som ekvationen beskriver i x-z-planet och "dra ut" den i y-led. Man kan mer uttryckligt beskriva detta plan x + z = 1, y godtycklig.


I R^3 skulle man kunna tänka sig flera sådana linjer. Den mest naturliga vore x + z = 1, y = 0.

För att beskriv linjen i ett rum måste du ha någon form av parametrisering, att du skriver om x+z=1 till z=1-x. Då kan du skriva en vektor u som u=[0;0;1]+x[1;0;-1].

Det ska ju bara vara en parameter som ändrar sig när du förflyttar dig längs linjen. När du förflyttar dig i ett plan förändras två, i det här fallet kan t.ex. x öka men då måste z samtidigt minska. Om x minskar så måste z öka.

I din uppgift "rör" sig linjen längs skärningen mellan planet och sfären, hela tiden på randen av sfären. Detta gör det knepigt att uttrycka rörelsen med en förändrande parameter med kartesiska koordinater, ett byte till sfäriska gör det betydligt enklare.

Tänk dig att du kollar på ett tvådimensionellt x-z-plan. Rita in linjen x+z=1. Y-axeln är då rakt ut ur ditt papper (alt. in i ditt papper). Linjen motsvarar att du ser planet precis från sidan, således är planet oändligt mot dig och in i pappret.

Skulle du se det ovanifrån/underifrån så skulle du bara se det planet eftersom de sträcker sig åt alla håll i all oändlighet, alla punkter som uppfyller x+z=1 finns i planet.

Ok, jag är med på skärningen mellan sfären och planet. Med tanke på skärningen borde man inte använda polära koordinater istället för sfäriska? och hur blir det med enhetsnormalen?

Tänkte fel i mitt tidigare inlägg. Det blir nog sfäriska koordinater. Märker att det är svårt att hitta parametrarna för cirkellocket. Det är väl flödet genom cirkellocket som ska beräknas? θ: 0->2π, φ:0->? r: ?

Eftersom du är på randen av sfären hela tiden kommer r att vara 1.

Sätt ekvationerna lika med varandra så får du fram skärningen. Om
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ

Planet är alltså
r sinφ cosθ + r cosφ = 1 => r(sinφ cosθ+ cosφ) -1 = 0
Och sfären
(r sinφ cosθ)²+(r sinφ sinθ)²+(r cosφ)²=1 => r²=1 => r²-1 = 0

Om du sätter dem lika med varandra får du skärningscirkeln,
r(sinφ cosθ+ cosφ) -1 = r² -1
sinφ cosθ + cosφ = r

.. Kollade uppgiften igen, är ditt vektorfält konservativt förresten? Isåfall bör väl kurvintegral runt hela cirkeln vara f(b)-f(a)? Med samma start och slutpunkt således 0?

Ska nu testa detta.
Vektorfältet borde inte vara konservativ då rotF ej = 0