2i = tan z

Lös ekvationen: 1) 2i = tan z och 2) e^3z=i

facit:
1) z = (n+1/2)π + i/2 ln(3)
2) i(4n+1)pi/6

Jag kommer så långt som att skriva om tanz = sinz/cosz = 1/i(e^z-e^-z)/(e^z+e^-z) på 1)
på 2) ser jag inte varför svaret inte skulle bli: 3z = ln(i) = ipi/2 --> z=ipi/6

2i = tan(z) = sin(z)/cos(z) = ((e^(iz)-e^(-iz))/(2i)) / ((e^(iz)+e^(-iz))/2)
= -i (e^(iz)-e^(-iz))/(e^(iz)+e^(-iz)) = { förläng med e^(iz) }
= -i (e^(2iz)-1)/(e^(2iz)+1)

2i (e^(2iz)+1) = -i (e^(2iz)-1)
2 e^(2iz) + 2 = 1 - e^(2iz)
3 e^(2iz) = -1
e^(2iz) = -1/3 = (1/3) e^(iπ) e^(i n 2π)
2iz = -ln(3) + iπ + i n 2π
z = (i/2) ln(3) + π/2 + n π = (n+1/2) π + (i/2) ln(3)


e^(3z) = i = e^(i π/2) e^(i n 2π)
3z = i π/2 + i n 2π
z = i π/6 + i n 2π/3 = i (1+4n) π/6

Du får bara fram en av oändligt många lösningar. Kom ihåg att e^(iz) = cos(z) + i sin(z) har en periodicitet på 2π i reell led.

Eller som jag har gjort ovan; jag har i princip skrivit 1 = e^(i n 2π).

Ser att de inte är så svåra uppgifter. Krävs ändå lite intuitiv förmåga när man ska förlänga eller skriva om tal som med 1=e^in2π eller i=e^iπ/2 osv. Tack ska du ha.

Det finns situationer där det krävs ändå lite mer. Som i följande:

Vi har exempelvis Sinz=1000 som vi kan skriva om till e^îz-e^-iz=2000i för att få en ansdragradsekvation som ser ut så här: (e^îz)^2-2000ie^îz-1=0

Gäller det att tänka som tidigare eller måste man infra någon ny trick?

Lös som en vanlig andragradsekvation, dvs kvadratkomplettera osv.

Ja! fungerade visst med kvadratkomp.

Har faktiskt en sista uppgift på talriken.

Sinz =5i
Den ser ut som första uppgiften men här ska man enligt ledningen ta e^iz - e^iz = -10 och sedan sätta w=e^iz -→ w²+10w-1=0

w=-5±√26=e^iz

iz = log(-5±√26) = ln(-5±√26)+iarg-5±√26 = ln(-5±√26)+i(0+in2π) = ln(-5±√26)-n2π)... jag tror att jag har slarvat någonstans innan redan eller?

Vi kan ju dela upp det i två fall:

e^(iz) = -5 + √26 > 0
iz = ln(-5 + √26) + i n 2π
z = -i ln(-5 + √26) + n 2π

e^(iz) = -5 - √26 < 0
iz = ln(5 + √26) + i π + i n 2π
z = -i ln(5 + √26) + π + n 2π