Linjär Algebra, tentamen problem

Hej hopp. Sitter och köttar extentor i linjär algebra. Har kommit till denna uppgift som jag tycker verkar lätt, men jag får inte ihop det. Detta är uppgiften:

Ett kafé på torget sätter upp ett trekantigt solsegel fästat i punkterna A = (0, 0, 1), B = (1, 0, 1) och C = (0, 2, 2). Det är blå himmel och solen befinnar sig i punkten S = (0, 0, 10). Lisa och Kalle njuter av var sin cappuccino. Kaféets stolar står på marken dvs. i xy-planet. Lisa sitter på stolen L = (1/3,2/3,0) och Kalles stol står i punkten K = (1,1/3,0). Vem sitter i skuggan och vem i solen?

Min teori om hur man ska lösa uppgiften: skapa tre linjer, alla går genom solens koordinat. Den ena linjen går genom A, den andra genom B och den tredje genom C. När dessa linjer är konstruerade tittar man helt enkelt vart dessa skär xy-planet. Sedan skapar man två vektorer ur de punkter man får fram från linjernas skärning med xy-planet. Generera ett plan av dessa vektorer, som båda går genom samma punkt. Sedan borde man helt enkelt kunna sätta in de båda stolarnas koordinater för att se om de ligger i planet eller ej?

Tycker det borde vara på detta vis men får ändå inte ihop det, det kör ihop sig när jag ska generera det nya planet på xy-planet.

Beräkningar: De tre linjerna:
SA-->=(0,0,1)-(0,0,10)=(0,0,-9), L1: (x,y,z)=(0,0,1)+t(0,0,-9).
SB-->=(1,0,1)-(0,0,10)=(1,0,-9), L2: (x,y,z)=(1,0,1)+s(1,0,-9).
SC-->=(0,2,2)-(0,0,10)=(0,2,-8), L3: (x,y,z)=(0,2,2)+w(0,2,-8).
Nu vill jag hitta punkterna då linjerna skär xy-planet. L1 är en linje som går längs z-axeln, därför skär den xy-planet i origo, (0,0,0)=P1. L2 skär xy-planet i (10/9,0,0)=P2 och L3 skär i (0,5/2,0)=P3. De värden får jag genom lite gaussning, då linjen skär xy-planet så är z=0.

Nu har jag punkerna, då vill jag konstruera mitt plan. Två vektorer skapas som båda utgår från P1 (origo).
P1P2-->=(10/9,0,0)
P1P3-->=(0,5/2,0)
Planet blir således: (x,y,z)=(0,0,0)+v(10/9,0,0)+u(0,5/2,0). Här är mitt problem. Jag vill egentligen ha planet på affin form, då skriver jag planet först på parameter form, och sedan vill jag eliminera v och u. Parameterform:
x=10/9v
y=5/2u
z=0
Och ungefär här får jag krupp, jag kan inte eliminera vare sig u eller v. Det blir mongolojdt. Frustrerad över mina bristfälliga kunskaper inom linjär algebra vänder jag mig till Flashback. Hur ska jag göra för att lösa uppgiften? Missar jag något uppenbart? Är mitt resonemang rätt?

Tack på förhand.

Skilj på hela planet, och bara triangeln P1,P2,P3. Planet är oändligt, innehåller triangeln ifråga, men har mer därtill. Lite som skillnaden mellan en sträcka och en linje, och här är skillnaden relevant.

Om du tar hela planet som spänns upp av de två vektorerna du har, så får du faktiskt hela planet z=0. (Det där detta som det blir om du "eliminerar" u och v.) För tänk efter, P1, P2, P3 ligger alla i xy-planet, och ligger inte alla på en linje, så det måste vara xy-planet som blir det som spänns upp.

Men detta hjälper ju inte riktigt, för både Lisa och Kalle sitter förstås på xy-planet, men det är som sagt den skuggtäckta triangeln som är relevant.

Enklast tror jag är att helt enkelt rita en figur med P1, P2, P3 och Lisas och Kalles positioner i xy-planet, och bara se svaret.

Om du tvunget ska arbeta efter en algoritm så tror jag den bästa strategin är att inse att en punkt ligger i triangeln P1,P2,P3 om och endast om alla tre av följande villkor är uppfyllda:

(a) Den ligger på samma sida om linjen P1P2 som punkten P3
(b) Den ligger på samma sida om linjen P2P3 som punkten P1
(c) Den ligger på samma sida om linjen P3P1 som punkten P2.

Var och ett av villkoren kan uttryckas som en linjär olikhet, så om du vill bara kolla om en viss punkt i xy-planet ligger i skugga är det bara att kolla huruvida alla tre olikheterna uppfylls.

Ser att du pluggar i lund, kikade också på den där häromdagen
Men jag har en annan fråga, antagligen väldigt enkelt, men hur är det man skriver om linjens ekvation från parameterform till affin form. Om jag har ex. vis (x,y,z) = (2,1,2) +t(1,2,3) vad blir det då i affin form? Tack på förhand!

{ x = 2 + t
{ y = 1 + 2t
{ z = 3 + 3t

~

{ 6x = 12 + 6t
{ 3y = 3 + 6t
{ 2z = 6 + 6t

Tag nu fram två ekvationer ur detta, exempelvis 6x - 3y = 9 och 2z - 3y = 3 och vi får då på affin form:

{ 2x - y = 3
{ 2z - 3y = 3

Med reservation för felräkning, men du förstår nog idén. Såg nu till exempel att jag skrivit av en ekvation fel, men det ska nog gå för dig att fixa till det.

Yes, tack för hjälpen, funderade lite, och insåg sen att jag kunde skapa linjen som går mellan P2 och P3 och sedan skriva om det till y som funktion av x. Sedan kunde man helt enkelt stoppa in x-värdet för stolens punkt i funktionen, blev y-värdet mindre än stolens y-värde så var stolen utanför skuggan, och tvärtom. Tack för hjälpen.

Satt även och klurade lite på denna uppgift. Har inte gjort någon ansats till att försöka lösa uppgiften än utan funderar mer över hur man skulle gå till väga. Hade gärna fått lite hjälp på traven av er. Detta är uppgiften:

Inför en ny bas e′1,e′2,e′3 (som ej behöver vara ortonormerad) i R3 så att de två första basvektorerna är parallella med planet π : 5x − z = 2 och så att den vektor som har koordinaterna (5,2,−1) i ursprungsbasen får koordinaterna (1,2,−1) i den nya basen. Ange även en ekvation för π i de nya koordinaterna.

Alltså, vid ON-bas så hade man enkelt kunnat räkna ut vektorn e´3 då den är // med (5,0,-1), alltså en multipel av den vektorn, och absolutbeloppet för basvektorerna i ON-bas är 1. Men nu är det enligt uppgift inte ON-bas, hur ska man gå till väga då?

Välj först värden på e'1 och e'2, innan du bestämmer e'3. (Om jag inte tänker fel spelar det ingen roll vilka e'1 och e'2 man väljer, så länge de är linjärt oberoende på parallella med planet som anges.)