Fourierkoefficienter

Hej, skulle uppskatta om någon kunde hjälpa mig med denna uppgift:

Vi ska välja a0 så att följande integral minimeras:

integralen [-pi till pi] |u(x) - a0|^2 dx där U(x) = x^2

Tydligen ska a0 väljas till den nollte fourierkoefficienten för u. û0

Varför?
Är integralen en norm?

Tacksam för svar

Integralen, rättare sagt roten ur den, är en norm.
L²-normen definieras genom ||f|| = √(∫ |f|²).

Enligt Parsevals sats gäller (typ... det skall antagligen in någon faktor)
||u||² = û0² + û1² + û2² + ...

Därför kan din integral ovan skrivas
||u - a0||² = (û0 - a0)² + û1² + û2² + ...
Eftersom û0, û1, û2, ... är fixa, minimeras detta då a0 = û0.

Tack så mycket. Det börjar bli lite klarare.
Undrar dock:

Varför är bara a0 med i första termen och vad var det för faktor du talade om? Hittar ingen i vår litteratur.

||u - a0||² = (û0 - a0)² + û1² + û2² + ..

Tack på förhand.

Om du har två funktioner, u(x) samt v(x), får vi förstås
||u - v||² = (û0 - ^v0)² + (û1 - ^v1)² + (û2² - ^v2) + ...
(Placerade hatten över v före bokstaven eftersom jag inte kunde placera den ovanför.)

Men nu tar vi v(x) = a0 (konstant). Då blir ^v0 = a0, medan ^v1 = ^v2 = ^v3 = ... = 0.


Om du kollar på Wikipediasidan för Parsevals sats, kan du se en faktor 2 pi:
http://upload.wikimedia.org/math/1/c...565f856d84.png

Sedan beror det också på hur koefficienterna definieras. Det finns flera sätt. Ibland kör man med {e^(inx)} som bas, ibland {cos(nx), sin(nx)}, ibland varianter av dessa. De ger olika (positiva) konstanter på termerna i Parsevals relation. I det här fallet hade de dock ingen praktisk betydelse. Såväl (x-a)² + y² som 3(x-a)² + 5y² minimeras ju (med x och y fixa, a variabel) då a = x.

Tack för hjälpen =).

Nu har vi dock problem med ytterligare en uppgift.

Vi ska hitta en 2pi periodisk C1 funktion, u, som har Fourierkoefficienterna:

ûn= ne^(-n) för n ≥ 0 och ûn= o för n<0

Help?

Jag antar att du vet att funktionen som har Fourierkoefficienter û_n ges av

u = Σ û_n exp(iπn),

där summan går från n=-∞ till n=∞?

(Eventuellt med någon konstant koefficient framför, beroende på exakt hur Fourierkoefficienterna definieras)

För att lösa summan som ni då får, utnyttja att

Σ n f(n) från n=0 till n=∞

är lika med

Σ Σ f(n), inre summan från m=n+1 till m=∞, yttre summan från n=0 till n=∞.

(Det här är en variant att "partiell summering", som är motsvarigheten till partiell integration fast för summationer.)

Använd sedna formeln för summan av en geometrisk följd.