Fraktal vs Pythagoras sats

http://img34.imageshack.us/img34/201...pythagoras.jpg
Titta på bilden.

Där har ni ett enkelt fraktal, en "trappa" som ökar ett steg för varje iteration. Längden på den första trappan är x+x=2x. Längden på den andra trappan är 0.5x+0.5x+0.5x+0.5x = 2x, osv. Dvs, alla trappor är lika långa. Men för trappan med oändligt många steg är det ju inte en trappa längre utan en diagonal linje, vilket betyder att längden är sqrt(x*x+x*x)?

Har funderat på detta länge nu men vet inte om det stämmer eller inte, någon som vet eller som kan ställa upp ett matematiskt bevis? Vet inte om problemet är känt sedan tidigare.

...Fast den sista är ju inte en diagonal deriverbar linje den heller.

Den är väl snarare a->oändlighet : x/a+ x/a+ x/a+ .... ~ 2x

Ja, längden för diagonalen är sqrt(2)x.

Ja, det är sant att "trappkurvorna" går mot diagonalen, i en viss bemärkelse.

Men, som du har upptäckt, så betyder detta inte alltid att längden på trappkurvorna går mot längden på diagonalen.


Om man vill definiera längden på en kurva C i allmänhet, så är ett rimligt sätt att ta "gränsvärdet" av olika polygonkurvor (kurvor består av en rad av ändligt många punkter sammanbindna med raka sträckor) som approximerar C bättre och bättre, med kravet att kontrollpunkterna för polygonkurvorna alltid ska ligga på originalkurvan. Det kravet krävs just för att undvika den situation du beskriver.

Det är ju frågan, är det en diagonal eller en trappa? Om stegen är oändligt små och oändligt många borde det ju vara en diagonal linje? Går det lika snabbt att färdas genom en linje med oändligt många trappsteg och en diagonal linje?

Ja, varför skulle avståndet bevaras vid gränsövergången? Detta är kanske ett tråkigt svar men likväl det som är kärnan. Det finns många exempel i matematik då saker gäller för alla ändliga tal men inte gäller i gränsövergången. Längdbegreppet är ganska känsligt och beter sig inte alltid så intuitivt. Inom grundundervisning och fysik så låtsas man ofta att det är riskfritt att anta att saker bevaras när man går till oändligheten, detta är däremot något som måste bevisas. Inom topologi/analys finns det många "patologiska" exempel på när saker inte beter sig som man tror, man måste ofta ha mycket mer krav på konstruktionen än man tror. Jag har för mig att det resonemang du visar upp fungerar dock om alla hörn i i approximationerna ligger på kurvan (till exempel approximera en cirkeln med polygoner).

Nja jag skulle snarare säga att det "går mot en diagonal linje". Men kommer aldrig bli det.
Inte helt säker på hur man ska göra, men det känns inte som att det någonsin kan gå exakt lika snabbt, utan man får sätta något i stil med;

l = tid att färdas genom en linje
t*n = tid att färdas färdas på en trappa med n trappsteg.

lim (n->oändlighet) t*n = l

Fast det kommer ju bara se ut som en diagonal linje på makroplan. Beståndsdelarna kommer fortfarande att vara trappsteg, detta kommer inte ändras, bara att antalet steg är oändligt många.

I princip kan du uttrycka det som en summa där du summerar trappstegens längd. Antalet trappsteg kommer att vara x/t där t är trappstegens längd. (Antalet steg blir x/t)

Du får (t+t)*x/t=2x som total längd. eftersom detta är oberoende av t kan du minska ner t hur mycket som helst utan att längden varierar.