Talteori - sats

Skulle någon vilja förklara följande sats på ett så lättsamt sätt som möjligt.

Om a, b, c är heltal samt a|b och a|c, så gäller att a|(b+c)

Om a|b => b = k*a för något k
Om a|c => c = j*a för något j

b+c = k*a+j*a = a*(j+k)

såklart gäller det att

a|a*(j+k)

Satsen säger: Om a delar både b och c, så delar a även summan av b och c.

Exempel:
a = 3, b = 12, c = 27
Både b = 12 och c = 27 är delbara med a = 3.
Summan b + c = 12 + 27 = 39 är även den delbar med a = 3.

Bevis har du fått genom en kopp kaffe.

Skulle behöva hjälp med följande frågor!


Här skrev jag: n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)
Om n är udda blir n(n-1)(n+1) jämt
Om n är jämt blir n(n-1)(n+1) jämt

6|n(n-1)(n+1) gäller för alla heltal n.

Men detta känns inte som ett komplett bevis?


Här provade jag bara med några siffror ochd det visade sig stämma, men jag kan inte finna något bevis.


Har inte kommit fram till någonting här.


Skrev: (a^2 + 5) = (a-1)(a+1) + 6
Här påverkar inte faktorn (a-1) delbarhetenm heller inte sifran 6.

Men detta känns också som ett vagt bevis.


Jag skrev om uttrycket till: (a+b)(a-b)=15, där (a-b)=1 och (a+b)=15. Alltså: a=8 och b=7. Men hur finner jag de andra lösningarna?

Visa att n(n^2-1) är delbart med 6 för alla heltal n
Har du börjat med induktion? Känns som det enklaste sättet att lösa detta. Lyckades få ut det när jag skrev på papper med blev väldigt mycket algebra.


Visa att om a|b och a|c, så gäller a^2|bc
Om a|b så är b = K * a där K är ett heltal.
PSS c = k * a där k är ett heltal
Då får du från a^2|bc <=>
a^2 | k*K*a^2

Ser inte hur detta är ett vagt bevis?


a^2-b^2 = (a+b)(a-b) inte a^2 + b^2

Mena du a^2 + b^2 eller a^2 - b^2?

Visa att n(n^2-1) är delbart med 6 för alla heltal n

n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)

I högerledet har vi tre på varandra följande tal minst ett av dom kommer att vara delbart 2 exakt ett av dom kommer att vara delbart med 3, produkten av dem kommer att vara delbart med 2*3 .

Visa att om a|b och a|c, så gäller a^2|bc

b = a*i c = a*j
bc = (a^2)*i*j vilket är delbart med a kvadrat

Finn tal a, b och c sådana att a|c och b|c, men ab (inte delare) c

Lättast är att ta a = b = c där alla tre är identiska och skilda ifrån 1.
Annars kan du ju ta a = 12 b = 18 c = 36.

Visa att om 6|(a+1), så gäller att 6|(a^2 + 5)

Här har du i stort sett tänkt rätt:

(a^2 + 5) = (a-1)(a+1) + 6

eftersom a+1 och 6 båda är delbara med 6 så är bägge termerna i vänsterledet delbara med 6 och därför är deras också det.

För vilka positiva heltal a och b gäller att a^2+b^2=15 ?

Din lösning stämmer inte 7i kvadrat + 8 i kvadrat är inte 15 utan 113.

Det lättaste är att resonera som följer varken a eller b kan vara större än 3 eftersom 4^2= 16 vilket redan är för litet. Däremot kan inte kan inte heller båda vara mindre än 3 eftersom 2^2+2^2=8 vilket är för litet. Alltså måste en av a och b vara 3. Säg att a är 3, då är b^2 = 6
vilket saknar heltalslösningar, alltså finns det inga lösningar.

Var ju självfallet mycket lättare än att använda induktion =(

Skrev fel. Det skall stå a^2 - b^2 = 15

Kör på som innan... unik faktorisering ger att

(a+b)(a-b) = 15 = 5*3

Vi behöver har alltså ett ändligt antal lösningar att betrakta. Låt (a-b) > 0 => (a+b) > 0 (eftersom 15 är positivt!)

De möjliga är

a+b = 5
a-b = 3

=> a = 4, b = 1

eller

a+b = 3
a -b = 5

=> a = 4, b = -1

För (a+b) < 0, byter vi tecken på a och b samtidigt: -a = 4, b = 1 och a = -4, b = -1

Alla lösningar ges av

Alltså a=±4, b±1

Inte den snyggaste lösningen, men det är nog det kortaste sättet i ett sånt här leksaksexempel.